Konvergenz und Grenzwert: Folge a_n = (n+1)/(n²+1) untersuchen

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Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (an) n ∈ ℕ ⊂ ℝ auf Konvergenz und ermitteln Sie
ggf. den Grenzwert.

 

an =     (n +1) ÷ (n2 +1)

 

Mit Erklärung wäre toll. Weiß überhaupt nicht was ich machen soll.... :-/

Gefragt 9 Okt 2012 von Gast ij2477

2 Antworten

+1 Punkt

Gesucht ist vermutlich der Grenzwert für n→∞, also das Verhalten der Folge für sehr große n.

 

Bei solchen Folgen, die ein Bruch aus zwei Polynomen ist, geht man eigentlich immer gleich vor:
man klammert sowohl im Zähler als auch im Nenner die höchste Potenz von n aus, das ist in diesem Fall n2.

Für n→∞ gilt nun aber 1/n→0 und 1/n2→0, also lautet der Grenzwert:

Beantwortet 9 Okt 2012 von Julian Mi Experte X
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an =     (n +1) ÷ (n2 +1)

Um eine Vorstellung zu bekommen, was passiert, wenn n grösser wird, kann man die Folge als Funktion aufzeichnen und auf dem Graphen nur die Punktfolge, die zu natürlichen x-Werten gehören betrachten.

Folge

 

Da sieht man sofort, dass für n ------> Unendlich eine Annäherung an 0 stattfindet.

Der Grenzwert ist also 0. Beweisen kannst du das mit einem allgemeinen festgewählten Epsilon0 > 0.

In etwa so, wie ich's bei einer Aufgabe vorher

https://www.mathelounge.de/3142/grenzwerte-index-bestimmen-fur-1-3-n-2

versucht habe zu erklären. Je nachdem wie formal ihr den Grenzwert definiert habt, sind hier verschiedene Vorgehensweisen nötig.

 

Beantwortet 9 Okt 2012 von Lu Experte CIII

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