Abschätzung mit exp(-x) und Bruchterm

Question

"Zeigen Sie: \( exp(-x) ≤ \frac {1}{1 + x + \frac{1}{2} {x}^{2}} \) für alle x ≥ 0"

Da waren wir etwas ratlos und haben versucht das Ganze abzuschätzen:

\( \frac {1}{1 + x + \frac{1}{2} {x}^{2}} ≤ \frac {1}{1 + x}  = \sum_{k=1}^{\infty} {-x}^{k} = \sum_{k=0}^{\infty} {-x}^{k} -1\)

\(exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty} {\frac {1}{k!}} {x}^{k} \) , also \( exp(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} {\frac {1}{k!}} {-x}^{k} \)

es gilt:

\(\sum_{k=0}^{\infty} {\frac {1}{k!}} {-x}^{k} ≤ \sum_{k=0}^{\infty} {-x}^{k} -1 \)

also:

\( exp(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} {\frac {1}{k!}} {-x}^{k} ≤ \sum_{k=0}^{\infty} {-x}^{k} -1 = \frac {1}{1 + x}  ≤ \frac {1}{1 + x + \frac{1}{2} {x}^{2}} \)

Wäre die Behauptung damit bewiesen ?

Comments

Gleichung zur geometrischen Reihe

1/(1+x) = SUMME...

gilt ja nicht für alle x ≥ 0. Oder(?)

Answer 1

Hi,

wegen $$ e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} $$ gilt für \( x \ge 0 \)
$$ e^x \ge 1 + x +\frac{x^2}{2}  $$ also $$ e^{-x} = \frac{1}{e^x} \le \frac{1}{1 + x +\frac{x^2}{2}}  $$

Deine Gleichheit $$ \frac{1}{1+x} = \sum_{k=1}^\infty (-x)^k  $$ ist falsch. Nur falls \( |x| < 1 \) gilt würde auch gelten \( \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^\infty (-x)^k \) wegen der Formel für die geometrische Reihe.

Comments

Hmmm..

Alles klar, danke.