Schwierig. Zeige (fg)^ (n) = Summe (n über k) f^ (k)g^ (n-k) und berechne f^ (100) für den Fall f(x) = (x^2)(e^x)

Question

ich suche Hilfe bei folgender Aufgabe.

Also: die Funktion f,g: ℝ→ℝ seien n-mal differenzierbar, nun soll ich folgendes zeigen:

(a) $$ { (fg) }^{ (n) }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)  } { f }^{ (k) }{ g }^{ (n-k) } $$

außerdem gilt zu berechnen:

(b) f⁽¹⁰⁰⁾ für den Fall f(x) =x²e^x

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Answer 1

Das erste ist nur mehrfache Anwendung der Produktregel, beweis du am besten

über vollst Induktion.

b) Mit deiner Formel

∑ (n über k) f^(k)g^(n-k) , für k = 0 bis n.

und f = x^2 und g = e^x bleibt von den 100 Summanden nicht viel übrig, weil ab der 3. Ableitung

bei f⁽ⁿ⁾ immer 0 rauskommt.

also ist die 100te Ableitung

(100 über 0)*x^2*e^x + (100 über 1) * 2x *e^x  + (100 über 2) * 2 *e^x +0+0+0+0..

e^x * (   (100 über 0)*x^2 + (100 über 1) * 2x   + (100 über 2) * 2 *e^x )

= e^x * ( x^2 +  200x  + 9900 )

Comments

Ist es notwendig bzw. einfacher dies über einen Beweis der Induktion zu tun? Da ich leider ein Defizit habe, was das Thema Beweis mit Induktion angeht.

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anders sehe ich keinen Weg.

Problem ist doch wohl nur der Induktionsschluss.

also von (fg)⁽ⁿ⁾  nach   (fg)⁽ⁿ⁺¹⁾ dazu musst du halt

∑ (n über k) f^(k)g^(n-k) , für k = 0 bis n.

nochmal ableiten und die einschlägigen Formeln für die

Binomialkoeff. benutzen.

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Alles klar, dass ist schon ein weilchen her, werde mich mal erkundigen. Bei Problemen melde ich mich nochmal. Gegebenfalls würde ich gerne die Ergebnisse später vergleichen.