Umkehrfunktion von e^{x} Regel

Question

Ich weiß, dass ln x die Umkehrfunktion von e^x ist, aber wieso gilt:

e^lnx? Wie kommt man denn darauf?

Answer 1

Tipp mal in deinen Taschenrechner ein

e^{LN 1} = ...

e^{LN 2} = ...

e^{LN 3} = ...

e^{LN 4} = ...

e^{LN 5} = ...

Es gilt allgemein e^{LN x} = x für positive Werte von x.

Und es gilt LN(e^x) = x für alle Werte von x.

Das liegt vermutlich daran, dass die LOG-Funktion direkt als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion gedacht ist. Sie ist so definiert worden.

Comments

x bleibt dann immer übrig...

Answer 2

Umkehrung von e^x heißt ja,

wenn e^x = y   ist, dann ist ln(y) = x

jetzt setze mal die zweite Gleichung in die erste ein, dann hast

du  e ^ln(y) = y und statt y kannst du natürlich auch x oder z oder whatever nehmen.

Comments

Man könnte doch auch erstmal die Variabeln vertauschen, weil es j die Umkehrfunktion ist oder also so:
e^x=y

e^y=x

y=Inx

e^lnx=x

oder??

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Klar, das geht auch so.

Answer 3

e^lnx = x

e hoch ln heben sich auf. e hoch ln(irgendwas) = irgendwas

y=e^x |ln

lny=lne^x =x

Vertauschen von x und y:

y=lnx (=Umkehrfunktion von e^x)