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ich hab eine Funktion gegeben: h(x) = 3x - 3x2 + x3

Ich soll nun zeigen, dass die Funktion eine Inverse hat und sie berechnen. Hab aber irgendwie keine Idee und wäre um Hilfe sehr dankbar!

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Tipp: \(h(x)=(x-1)^3+1\).

1 Antwort

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Um zu zeigen dass die Funktion eine Inverse hat, muss man zeigen dss diese 1-1 ist. 
Um die Inverse dann zu finden, macht man folgendes: 
$$y=h(x) \Rightarrow y=3x-3x^2+x^3$$ 
Dann muss du diese Gleichung in der Form $$x=g(y)$$ schreiben und dann ist die g(y) die Inverse.
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Dank dem Tipp:

y = (x - 1)3 + 1

y - 1 = (x - 1)3

3.√(y - 1) = x - 1

x = 3.√(y - 1) +1

Und das ist dann meine Inverse oder?

Ja. Tausche nun noch x und y.

Damit du keine negativen Werte unter der Wurzel hast,

schreibe eine stückweise definierte Funktion hin:

h^{-1}(x) = ³√(x-1) + 1        , für x≥ 1

und

h^{-1}(x) = -^3√(1-x) + 1   , für x<1

h ( x ) = 3x - 3x2 + x3  
D = ℝ
W = ℝ

i ( x ) = 3.√(x - 1) +1
D = x ≥ 1
W = x ≥ 1

Die Funktion i ( x ) ist nur für x ≥ 1 eine Umkehrfunktion zu f ( x )

Bild Mathematik

georgborn: Schöne Illustration des Problems!

 Ergänze in deiner Graphik (wenn das möglich ist) noch den 2. Ast von h^{-1}:

h-1(x) = -3√(1-x) + 1   , für x<1 

Vgl. meine Rechnung oben.

Hier die geteilte Funktion

Bild Mathematik

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