Linearität von Abbildungen

Question

Ich bräuchte hierbei Hilfe. Die ersten 3 Aufgaben habe ich gelöst und sie müssten auch richtig sein...

i) ist linear

ii) ist nicht linear

iii) ist nicht linear

Ab der vierten bin ich mir nicht mehr so ganz sicher. Ich habe bei meiner Rechnung herausbekommen, dass sie linear ist, aber habe keine Ahnung ob das stimmt. Und die fünfte und sechste kann ich schon gar nicht lösen. Könnte mir da jemand irgendwelche großen Tipps geben oder sogar die letzten 3 Aufgaben für mich lösen?

Comments

Was muss erfüllt sein damit es sich um eine lineare Abbildung handelt ?

i) bis iii) ist denke ich richtig.

iv) hätte ich auch linear gesagt.

v) ist ein kreis in der ebene und damit nicht linear

ist bei vi) nicht der Betrag eines komplexen Zahl gefragt. Das ist auch nicht linear.

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Frage an Mathecoach:

Wieso ist g(x) = 2x+1 (Aufg. ii) nicht linear? 

Sie ist parallel zu f(x) = 2x (s. Aufg. i, die ja linear ist und durch den Nullpunkt geht), hat auch die selbe Steigung und schneitet die y-Achse bei -0,5

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Die Frage ist ob das eine lineare Abbildung ist oder eine lineare Funktion

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung

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Bei einer linearen Abbildung g

müsste  z. B.  g(2x) = 2 • g(x) sein  (vgl A2)

aber:  g(2x) = 2 • (2x ) + 1  =  4x + 1  ≠  2 • (2x+1)  = 2 • g(x)   

Answer 1

seien V und W zwei Vektorräume mit dem gleichen Skalarenkörper K, z.B. V = (ℝ,+,•)  und W(ℝ², ⊕ , ⊗) mit den "normalen" + und • in ℝ  und der Standardvektoradditionaddition ⊕ und der  Standard-S_Multiplikation⊗ inℝ² wie in Aufgabe v)

eine Abbildung  f: V → W ist genau dann linear, wenn gilt:

Für alle r∈K  und x,y ∈ V  gilt: [  f(r•x) = r ⊗ f(x)    und  f(x+y) = f(x) ⊕ f(y)

Die Nichtlinearität kann man - wie immer in solchen Fällen - am einfachsten mit einem Gegenbeispiel nachweisen:

v)

sei r = 2  ,  x = Φ = π/2

f(2 • π/2)= $\begin{pmatrix} cos(2·π/2) \\ sin(2·π/2)\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

 2 • f(π/2) = 2 • $\begin{pmatrix} cos(π/2 \\ sin(π/2) \end{pmatrix}$ = 2 • $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Die erste Bedingung  ist also nicht erfüllt  →  f ist nicht linear

 Gruß Wolfgang

 

 

Comments

Woher nimmst du denn die Werte r = 2  und  x = Φ = π/2 ?
Dachte vielleicht das wären beliebig wählbare Variablen, aber ich habe dann r = 1 und x = π gewählt, und die erste Bedingung war dann erfüllt, folglich wäre es ja linear. Kann allerdings ja nicht sein, weil deine Rechnung das Gegenteil beweist.

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hh1755: vgl. Kommentar zu lin. Abbildung oben."  aber:  g(2x) = 2 • (2x ) + 1  =  4x + 1  ≠  2 • (2x+1)  = 2 • g(x)  "

Wenn du ein einziges Gegenbeispiel hast, ist die Sache gezeigt.