Ein zylindrischer Behälter für 1000 cm³ Fett hat einen Mantel aus Pappe während Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro cm² vier mal so so teuer wie die Pappe. Welche Maße muss der Behälter erhalten wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?
V = pi·r^2·h = 1000 --> h = 1000/(pi·r^2)
K = (2·pi·r^2)·4 + (2·pi·r·h) = 2·pi·h·r + 8·pi·r^2 = 2·pi·(1000/(pi·r^2))·r + 8·pi·r^2
K = 8·pi·r^2 + 2000/r
K' = 16·pi·r - 2000/r^2 = 0 --> r = 5/pi^{1/3} = 3.414
h = 1000/(pi·r^2) = 1000/(pi·(5/pi^{1/3})^2) = 40/pi^{1/3} = 27.31 cm
Dann ist die Höhe 8 mal so groß wie der Radius.