Wie löst man solch ein Integral? ∫_(1)x z dz

Question

Das Integral lautet --> ∫_(1)^x z dz 

$$\int _{ 1 }^{ x }{ \quad z\quad \cdot \quad dz }$$

Wie rechnet man das ?

Außerdem möchte ich noch gerne wissen, wie man solche Integrale nennt.

Answer 1

Hi,

Der Malpunkt zwischen z und dz hat da nichts verloren. Ist keine Multiplikation!

Ansonsten ganz normal integrieren und Grenzen einsetzen? :)

$$\int_1^x z\, dz = \left[\frac12z^2\right]_{1}^{x} = \frac{1}{2}x^2 - \frac12$$

Ob das jetzt einen speziellen Namen hat...? :P

Grüße

Comments

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Ist das ein sogenanntes uneigentliches Integral ?

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Man spricht von einem uneigentlichen Integral, wenn man Problemstellen hat, oder der Definitionsbereich unbeschränkt ist. Hätten wir also x -> ∞, so läge auf jeden Fall ein uneigentliches Integral vor :).

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Das Malzeichen darf man ruhig mit in den Integranten hinschreiben, weil man streng genommen den Funktionswert f(z)=z mit einer Intervallbreite Δz multipliziert und das ganze aufsummiert, wobei man dann am Ende  Δz gegen Null laufen lässt und das ganze dann dz nennt. 

Answer 2

Weil 

F_(1)(x) = int_(1)^x z dz = 1/2 x²  - 1/2 

die mit einem Vorzeichen versehene Fläche zwischen f(z) = z, z=1 und z=x angibt. Spricht man bei der resultierenden Funktion von einer Flächenfunktion. 

Üblicherweise, werden dann aber die Buchstaben anders beschriftet, damit die Achsenbeschriftung nicht geändert werden muss.

F_(1)(x_(o)) = int_(1)^x_(o) x dx = .... = 1/2 x_(o)²  - 1/2 

Beispiel für xo = 2

Plotlux öffnen

f₁(x) = xx = 1x = 2f₂(x) = 1/2x²-1/2

Die Fläche zwischen x-Achse, f(x) = x , x=1 und x=2 ist die Differenz zweier halber Quadrate also

1/2 * 2² - 1/2 * 1² = 1.5

und tatsächlich ist F_(1)(2) gerade 1.5

Siehst du am Schnittpunkt lila- gelb-grün

hier:

 Plotlux öffnen

f₁(x) = xx = 1x = 2f₂(x) = 1/2x²-1/2f₃(x) = 1,5

Nun kannst du die Grenze 2 beliebig hin und her schieben und die Flächenfunktion testen. Beachte: Die Grenze bei x=1 hast du fest vorgegeben und kannst die nicht ändern, ohne eine andere Flächenfunktion zu bekommen. 

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Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Answer 3

Die Stammfunktion ist [1/2 z²]

Obere und untere Grenze eingesetzt bringt

1/2 x² - 1/2*1 = 1/2 (x² - 1)

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Vielen Dank für deine Antwort !

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Gerne. Leider weiß ich auch nicht wie man das nennt.

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Ok, danke für deine Antwort !