Tangentennachweis analysis

Question

Gegeben ist die Funktion f(x) = 1/6 x * (x-6)^2

a) Weisen sie nach, dass die gerade g(x)= 6x Tangenete an den graphen der funktion f ist.

m=6

f(x)= 1/6 x³ - 2x^2 + 6x

f '(x)= 1/2x^2 - 4x + 6 = 6

x^2 - 8=0

x1= 8

x2=0

Answer 1

Die Stellen mit der Steigung 6 sind
x = 0
und
x = 8

Als Nachweis für einen Berührungpunkt muß noch gelten

f ( x ) = g ( x )
f ( 0 ) = g ( 0 )  | stimmt

f ( 8 ) = g ( 8 )
1/6 * 8 * (8-6)² = 6 * 8
1/6 * 8  * 4 = 48  | stimmt nicht

~plot~ 1/6 * x * ( x - 6 )^2 ; 6 * x ~plot~

Answer 2

1/6·x·(x - 6)^2 = 6·x

1/6·x·(x^2 - 12·x + 36) = 6·x

x^3/6 - 2·x^2 + 6·x = 6·x

x^3/6 - 2·x^2 = 0

x^2·(x/6 - 2) = 0

Bedingt durch die doppelte Nullstelle Berührt die Gerade an der Stelle 0 den Graphen und ist damit eine Tangente.