betriebsoptimum bestimmen

Question

Ich brauche eure Hilfe..

Ich habe die Produktonsmengen x und Gesamtkosten K gegeben.

a) Bestimme den Gewinn im Betriebsoptimum bei einem Verkaufspreis von p=60 GE/ME

Bestmme den max. Gewinn und die zugehöroge Produktionsmenge bei einem Verkaufspreis p=60 GE/ME

x	6	10	14	18
K(x)	516	588	820	1404

Answer 1

Ansatz

K(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

Bedingungen

K(6) = 516
K(10) = 588
K(14) = 820
K(18) = 1404

Gleichungen

216·a + 36·b + 6·c + d = 516
1000·a + 100·b + 10·c + d = 588
2744·a + 196·b + 14·c + d = 820
5832·a + 324·b + 18·c + d = 1404

Eine Lösung ergibt

a = 0.5 ∧ b = -10 ∧ c = 80 ∧ d = 288

K(x) = 0.5·x^3 - 10·x^2 + 80·x + 288

Schaffst du dann alleine weiter ? Also Betriebsoptimum und max Gewinn zu berechnen?

Skizze

~plot~0.5*x^3-10*x^2+80*x+288;[[0|15|0|1000]]~plot~

Comments

Wobei die Idee, dass sich die Kosten entsprechend einer kubischen Gleichung verhalten, dann entsteht wenn Mathematiklehrer Wirtschaftsbeispiele bringen wollen. Die kubische Gleichung ist hier nötig, weil es mit einer linearen Gleichung nicht lösbar ist und mit einer quadratischen Gleichung auch nicht. Der Aufgabensteller will offensichtlich darauf hinaus, dass der Schüler das merkt. Wollte man als Schüler ähnlich bösartig reagieren, könnte man ihn fragen, welche ökonomischen Realitäten hinter seiner Annahme stehen, d.h. warum, wann und wo sich Kosten mit der dritten Potenz zur Menge verhalten. Und wie sich das mit der ökonomischen Theorie der Skaleneffekte verträgt. Ich halte die Aufgabe nicht für eine Sternstunde der Didaktik.

Die Fragestellung scheint zudem die Fortsetzung von https://www.mathelounge.de/332925/betrtiebsoptimum-bei-einem-verkaufspreis-bestimmen zu sein.

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Es geht hierbei meist um "ertragsgesetztliche Kostenfunktionen" für die man einen S-Förmigen Kurvenverlauf annimmt. Diese konnen Modellhaft sehr gut durch eine Funktion dritten Grades beschrieben werden.

Natürlich ist dieses Modell nicht ganz unumstritten. Aber es erlaubt Schüler sehr einfach an das komplexe Themengebiet der Kostenrechnung heranzuführen auch wenn für Betriebe später etwas modifizierte Kostenfunktionen zum Einsetz kommen.

Natürlich machen solche Aufgaben nur Sinn im Zusammenhang mit der Vorlesung in dem Ansätze für Kostenfunktionen besprochen werden.

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Schrieb ich ja: Mathelehrer versuchen sich in Wirtschaftsfragen. OK ich bin still.

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Das ist natürlich Quatsch.

Diese Theorien kommen nicht von einem Mathelehrer sondern von Wirtschaftswissenschaftlern. Aufgestellte Theorien finden nur halt auch Einzug in Mathebücher wenn es passt.

Vergleichbar das die Physiker für die Schüler Flugbahnen mit quadratischen Funktionen annähern. 

Das hat mit der Realität auch nicht mehr viel gemeinsam. Aber so können Schüler erstmal an sehr vereinfachen Modellen ein Verständnis zu entwickeln.

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Die Gleichungen habe ich schon gemacht bzw. auch die Gesamtfunktion aufgestellt.

Ich bräuchte nur Hilfe beim Betriebsoptimum bei einem Verkaufspreis von p=60 GE/ME.

lg

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Die Erlösfunktion ist dann 

E(x) = 60*x

Die Bedingung für das Betriebsoptimum ist

k'(x) = 0 [Die Ableitung der Stückkosten muss Null sein]

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K(x) = 0.5·x³ - 10·x² + 80·x + 288

K'(x)= 1.5x²-20x+80=0

bei meinem Rechner steht -> Gleichung hat keine Lösung

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Nicht die Ableitung der Kostenfunktion sondern die Ableitung der Stückkostenfunktion. 

Schau mal in deine Formelsammlung.

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Ah ja das habe ich schon gerechnet. x= 12

Aber wie rechne ich dann das Betriebobtimum bzw  max. Gewinn und die zugehöroge Produktionsmenge bei einem Verkaufspreis p=60 GE/ME?

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x = 12 ist das Betriebsoptimum

p = 60

E(x) = p*x = 60*x

G(x) = E(x) - K(x)

G'(x) = 0 --> Das ergibt die Produktionsmenge für den maximalen Gewinn.

Das noch in G(x) einsetzen und du hast den maximalen Gewinn.

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Super, vielen Dank, hat geklappt.

Bei mir steht beim Optimum eine andere Lösung. Muss ich villeicht die 60 GE/ME wo einsetzen?

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Damit stellst du nur deine Erlösgleichung auf.

Ich habe 

x = 12.24 ME

G(12.24) = 48.49 GE

Sind das die Werte die herauskommen sollen?

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Ja, vielen Dank für die Erklärung!

Answer 2

Kannst ja K(x) erst mal interpolieren:

Ich bekomme: (Das rote sind die Kosten.)

~plot~37/16*x^3-573/8x^2+2843/4x-3339/2;60x;[[0|20|0|2000]]~plot~

max Gewinn bei p=60 :

G(x) = 60*x - ( (37/16)*x^3-(573/8)x^2+(2843/4)x-3339/2)

        = (-37/16)*x^3+(573/8)x^2-(2603/4)x+3339/2

G ' (x) = ( -111/16 )* x^2 + (573/4)x -(2603/4)

G ' (x) = 0 gibt  x = 13,9 oder x = 6,75

mit G ' ' (x) siht man:  Bei x=13,9 ist das Gewinnmaximum

(Passt auch zum graphen.)

und der Gewinn ist dann  252,2 GE.

Comments

Hallo Mathef, wie kommen Sie auf diese Zahlen?

60*x - ( (37/16)*x³-(573/8)x²+(2843/4)x-3339/2

Liebe Grüße

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Habe gerade gesehen, dass ich mich da in einer Zeile vertan

habe.

Richtig ist das Gleichungssystem vom Mathecoach.

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Wie kommt der Mathecoach auf diese Zahlen?

Lg

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Nach deinen Angaben hattest du das bereits selber berechnet

"Die Gleichungen habe ich schon gemacht bzw. auch die Gesamtfunktion aufgestellt. "

Damit sollte es klar sein wie ich auf die Werte komme.

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Du musst einfach das Gl.system lösen

z.B. mit dem Gaussverfahren etwa so

216        36        6        1        516
1000     100       10       1       588
2744     196       14       1       820
5832     324       18       1       1404

Jetzt 2. Zeile minus  1.   und 
3. Zeile minus 1.  und 4. Zeile
minus 1.  etc. gibt

216        36        6        1        516
784        64        4         0       72
2528      160       8        0       304
5616      288      12        0      888

Dann 3. Zeile  minus  2. Zeile*2  und
4. Zeile minus    2. Zeile*3 gibt

216        36        6        1        516
784        64        4         0       72
960        32         0         0       160
3264      96        0          0       672

und 4. Zeile minus 3* 3. Zeile gibt

216        36        6        1        516
784        64        4         0       72
960        32         0         0       160
384        0           0          0      192

Dann kommt aus der letzten Zeile

384a = 192 also  a = 0,5

Das in die 3. Reihe einsetzen gibt

960 * 0,5 + 32 b = 160

  480 + 32 b = 160

            32b = -320
              b = -10   etc.