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Stimmt diese Aussage?

von

Eine Grafik, eine Grafik. Ein Königreich für eine Grafik.

Bild Mathematik

Wenn man sich nur den Graphen von x^3+x anschaut ohne die Funktionsgleichung zu kennen, dann würde ich-weil Wendepunkte zu Tief-/Hochpunkten werden und der Graph steigend ist- eine nach unten geöffnete Parabel also Hochpunkt zeichnen.

...was aber falsch wäre für die erste Ableitung.

4 Antworten

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eine Wendestelle ist nur der x-Wert.

Ein Webdpunkt ist ein Punkt (x ;y ) .

Beide haben beides.

von 258 k 🚀
Ich war nicht aufmerksam beim Stellen der Frage, jetzt hab ich sie richtig formuliert :)

umgekeht ist es richtig: Beim Sattelp.

ist f ' (x) = 0 und das ist bei x^3 so, aber x^3 + x nicht.

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Hallo Gast hj2577,

die Aussage ist korrekt, aber nicht so wie Du sie wahrscheinlich gemeint hast.

Bei einer Funktion ist die Extremstelle einfach nur die x-Koordinate des Extrempunktes. Das Gleiche gilt für Wendepunkte, d.h. wenn es eine Wendestelle gibt, gibt es auch einen Wendepunkt und umgekehrt.

Da beide Funktionen einen Wendepunkt haben, haben beide auch eine Wendestelle. Somit gilt:

\(x^3 \) hat einen Wendepunkt ist korrekt.

\(x^3 + x \) hat eine Wendestelle ist korrekt.

Der Unterschied ist, dass der Wendepunkt von \( x^3 \) auch ein Sattelpunkt ist.

EDIT: Nach Umformulierung der Frage, ist meine Antwort zwar nicht falsch, aber der Bezug stimmt nicht mehr ganz.

Gruß

von 2,4 k
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Stelle bedeutet x = ...
Punkt bedeutet die Angabe ( x | y ) also beide Koordinaten.

Ich kenne die Orginalfrage nicht mehr beantworte daher die Fragen zu
f ( x ) = x^3
und
f ( x ) = x^3 + x

ob die Funktionen Wendepunkte oder Sattelpunkte haben

Für einen Wendepunkt gilt  f ´´ ( x ) = 0
f ( x ) = x^3
f ´( x ) = 3 * x ^2
f ´´ ( x ) =  6 * x
Wendepunkt
6 * x = 0
x = 0
f ( 0 ) = 0^3 = 0
( 0 | 0 )
f ´( 0 ) = 3 * 0^2 = 0
Im Wendepunkt ist die Steigung 0. Somit ist es ein Sattelpunkt
bei dem die Steigung 0 ist.
( blaue Kurve )

f ( x ) = x^3 + x
f ´( x ) = 3 * x^2 + 1
f ´´ ( x ) = 6 * x
Wendepunkt
6 * x = 0
x = 0
f ( 0 ) = 0^3 + 0 = 0
( 0 | 0 )
f ´( 0 ) = 3 * 0^2  + 1 = 1
Im Wendepunkt ist die Steigung 1. ( 45 ° ).. Somit ist es kein Sattelpunkt
bei dem die Steigung 0 ist.
( rote Kurve )

Nochmals : Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der Steigung 0.

~plot~ x^3 ; x^3 + x ~plot~
von 121 k 🚀
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   Ich lege hier einen energischen Protest ein. Kerle das wissen noch nicht mal die Professoren; lediglich in einigen Internetforen wird es beachtet.
   Mit Sattelpunkten ( SP ) haben Schüler gar nichts zu schaffen, wenn sie sich nicht durch einen extremen Leistungskurs jagen lassen ( Womit ich nicht gesagt haben will, dass es für dich zu schwer sei. ) Ein Sattel hat in einer Richtung ein Maximum und in einer anderen ein Minimum ( Anschauung ! ) Daraus folgt schon zwingend, dass nur eine ( mindestens ) zweidimensionale FLÄCHE einen SP haben kann ( Es dürfen aber auch 4 711 Dimensionen sein - für Cowboys im Weltraum. )
   Damit erweist sich aber ein SP als VERALLGEMEINERTES EXTREMUM .
   Noch etwas; eine Nullstelle von gerader Ordnung erweist sich immer als Extremum.
   In höheren Dimensionen kann sie aber auch ein SP sein; da siehst du wieder die Verwandtschaft.
   Was du meinst, ist ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) ein TP ist ein WP mit horizontaler Wendetangente; warum sollte es das nicht auch in höheren Dimensionen geben?
   Ich sage immer: Es gibt nur hinreichende; keine notwendigen Bedingungen.
   Eine gerade Nullstelle ist wie gesagt immer ein Extremum; ob Min oder Max, entscheidest du wie üblich über das Vorzeichen der ersten nicht verschwindenden Ableitung. Beispiel: Untersuche f ( x ) = x ^ 4 712
  Eine ( mehrfache ) Nullstelle ungerader Ordnung ist immer ein TP ; so einfach ist das .
   Gleich dein erstes Beispiel f1 ( x ) = x ³  zeichnet sich durch eine 3-fache Nullstelle aus ===> TP
  An dieser Stelle kommt eine für mich typische frohe Botschaft.
   Kubistische Polynome sind ein Sonderfall; für ihren WP zu berechnen, brauchst du überhaupt keine 2 . Ableitung .
   Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel.
   Du gehst immer aus von der Normalform des Polynoms ( liegt bereits vor )





        f2  (  x  )  :=  x  ³  +  x       (  1  )

        x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  0     (  2  )



      Liegt hier ein TP vor? Hier entscheidest du das am Schnellsten durch Faktorisieren von ( 1 )



      
      f2  (  x  )  =  x  (  x  ²  +  1  )       (  3  )



    Im Ursprung findest du eine Nullstelle erster Ordnung. Das ist nix als ein popeliger Vorzeichenwechsel; kein TP und schon gar kein Extremum.
von

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