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Ich habe eine Aufgabe zur Berechnung der Mantelfläche eines Körpers. Jedoch kann ich leider die Lösung nicht nachvollziehen.

Gegebene Funktion ist

$$f(x)=\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } $$

das Intervall ist [0,2].

Die Formel für die Mantelfläche lautet ja:

$$M\quad =\quad 2\pi \quad \int _{ a }^{ b }{ f(x)\quad \sqrt { 1\quad +\quad (f'(x))^{ 2 } }  } dx$$

Für mich ergibt sich durch einsetzen dann:

$$M\quad =\quad 2\pi \quad \int _{ 0 }^{ 2 }{ \frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \sqrt { 1\quad +\quad (\frac { { x }^{ 4 } }{ 12 } )^{ 2 } }  } dx$$

aber laut Lösung soll es folgendes sein:

$$M\quad =\quad 2\pi \quad \int _{ 0 }^{ 2 }{ \frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \sqrt { 1\quad +\quad { x }^{ 4 } }  } dx$$


Sehe ich hier gerade etwas Wichtiges nicht?

Ich dachte erst, ich hätte falsch abgeleitet, aber sofern ich nicht zu doof war Wolframalpha zu nutzen, ist die Ableitung doch richtig.

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2 Antworten

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y'=x^2

damit kommst Du auf die angegebene Lösung.

Avatar von 121 k 🚀
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f(x) = x^3/3

f'(x) = x^2

2·pi·∫ (0 bis 2) (√(1 + x^4)) dx = 22.96

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*pi*int_0%5E2+%E2%88%9A(1+%2B+((x%5E3%2F3)%27)%5E2)+dx

Avatar von 477 k 🚀

Oh mein Gott, wie peinlich... Ich habe nicht abgeleitet, sondern 'aufgeleitet'...


Keine Ahnung, wie mir das passieren konnte, besonders da ich noch bei Wolframalpha nachgeprüft hatte. Hatte vermutlich Integral im Kopf und dadurch alles falsch gemacht...


:)

Hier muss es wohl

2 π integral_0^2 1/3 x^3 sqrt(1 + x^4) dx = 24.1179

heißen:  

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*pi*int_0%5E2+x%5E3%2F3*(%E2%88%9A(1+%2B+x%5E4)))+dx

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