Spotlight-Problem Tangens Ableitung

Question

Also mein Bruder hat mir erklärt das ichh(t)=20∗tan(α(t)) Ableiten muss und das Ergebnis mit 1 Gleichsetzen muss  

aber ich verstehe noch nicht genau wie das im Zusammenhang mit dem Ergebnis steht bzw. . 

wie man damit weiter arbeiten muss wäre nett wenn jemand helfen kann 

er ist jetzt leider wieder zum Studieren weggefahren

Answer 1

Für den Tangens eines Winkels in einem rechtwinkeligen Dreieck gilt ja "Gegenkathete" geteilt durch "Ankathete".

In diesem speziellen Fall also $$\tan(\alpha(t)) = \frac{h(t)}{20}$$

Umgeformt zur Höhe ergibt sich:

$$h(t) = 20 \cdot \tan(\alpha(t))$$

Was man dann wissen muss: h(t) gibt die Höhe des Lasers zum Zeitpunkt t an, also einen Ort. Leitet man h(t) jetzt ab, bekommt man die Höhenänderung, also die Geschwindigkeit des Lasers (die ja 1m/s betragen soll).

Also leiten wir h(t) ab. Dabei müssen wir die Kettenregel beachten und wissen, dass tan(t) abgeleitet 2/(cos(2t)+1) ist.

$$h'(t) = 20\cdot \alpha'(t) \cdot \frac{2}{\cos(2 \alpha(t))+1} = \frac{40 \alpha'(t)}{\cos(2 \alpha(t))+1}$$

Das setzen wir jetzt mit 1m/s gleich, da sich die Höhe mit dieser Geschwindigkeit ändern soll:

$$1 = \frac{40 \alpha'(t)}{\cos(2 \alpha(t))+1}$$

Umgeformt zur Winkelgeschwindigkeit a'(t) ergibt das:

$$\alpha'(t) = \frac{\cos(2 \alpha(t))+1}{40}$$

Das sollte dann die gesuchte Lösung sein.

Comments

wow danke echt stark von dir!

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Wäre super wenn mir jemand erklären könnte wie man die erste Ableitung Mithilfe der Kettenregel macht.Schritt für Schritt.  Zu diesem Beispiel jetzt. Hab ewig rumprobiert komm aber auf keinen grünen Zweig. Vielen Dank