Extremwertaufgabe --> Abitur 2007

Question

f(x) = x² * e^ax+a ist die Ausgangsfunktion

Die Gerade x = t (t > 0) schneidet die x-Achse im Punkt R und G−1/2 im Punkt S.

Der Koordinatenursprung sei O.

Bestimmen Sie t für den Fall, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ORS maximal

ist. Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet.

Hochpunkt: (-2/a /  4*e^a-2/a²)

f(x) = x² * e^-1/2x-1/2

Comments

Hallo Christian,

irgendetwas stimmt in Deiner Aufgabenstellung nicht. Kannst Du bitte noch einmal überprüfen, ob Du alles richtig abgeschrieben hast?

Beispiel:

Was soll G-1/2 sein?

Beispiel:

Eine Gerade x=t mit t>0 ist ein Strahl der von der x-Achse im Punkt (t|0) senkrecht nach oben geht, ohne die x-Achse bzw. diesen Punkt (t|0) zu berühren, da t>0.

Ohne die Einschränkung t>0 ist es einfach eine Parallele zur y-Achse durch den Punkt (t|0)

Skizze mit t=5:

Plotlux öffnen

x = 5

Gruß

Answer 1

Graph von G _-1/2 sieht mit Gerade x=2  also Fall t=2 so aus : Plotlux öffnen

f₁(x) = x²·e^-0,5·x-0,5x = 2

Wenn du die Gerade nach rechts oder links verschiebst ändert sich die Dreiecksfläche

und zwar in Abhängigkeit von t so

A(t) =  t*f_-0,5(t) / 2  =  t* t² * e ^{-0,5*t - 0,5} / 2   = t³ * e ^{-0,5*t - 0,5} / 2 

A ' (t) = (   3/2 * e ^-0,5 * t²  -  e ^-0,5 *  t³ / 4 )  *  e ^-t/2     Das ist 0 für

   3/2 * e ^-0,5 * t²  -  e ^-0,5 *  t³ / 4    = 0

3/2 * t²  -    t³ / 4    = 0   

6 * t²  -    t³    = 0   

t² * (  6 - t )  = 0  

da t =0 keine sinnvolle Lösung ist   , also   Extremum bei t = 6