also sei \( \varphi \) definiert über \( \varphi(g) = h \Leftrightarrow g.x_0 = x_0.h \).
Es ist zunächst \( \varphi(e_G) = e_H \), da \( e_G.x_0 = x_0 = x_0.e_H \). Wegen der "Freiheit" von \( H \) ist das \( e_H \) in der letzten Gleichung eindeutig und insbesondere \( \varphi(e_G) \) damit wohl-definiert.
Seien \( g_1, g_2 \in G \) gegeben. Wegen der Transitivität von \( H \) existieren \( h_1, h_2 \in H \) mit \( g_1.x_0 = x_0.h_1 \) und \( g_2.x_0 = x_0.h_2 \).
Wegen der "Freiheit" von \( H \) sind diese eindeutig: Aus \( g.x_0 = x_0.h = x_0.h' \) folgt \( x_0 = x_0.(h' \circ h^{-1}) \). Die "Freiheit" impliziert nun \( e_H = h' \circ h^{-1} \) und folglich \( h = h' \).
Nun kann man ausrechnen:
\( (g_1 \circ g_2).x_0 = g_1.(g_2.x_0) \)
\( = g_1.(x_0.h_2) = (g_1.x_0).h_2 = (x_0.h_1).h_2 = x_0.(h_1 \circ h_2) \).
Dies impliziert
\( \varphi(g_1 \circ g_2) = h_1 \circ h_2 = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2) \).
und die gegebene Abbildung \( \varphi \) ist ein Homomorphismus.
Mister
