gruppenhomomorphismus

Question

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Ich verstehe so einigermaßen die Aufgaben Stellung aber ich weiß nicht wie ich da vorgehen soll.

Comments

Wann ist eine Operation "frei", wie ist "frei" definiert?

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Das weis ich leider nicht das steht auch nirgends in Skript. Aber ich hab in Internet gelesen dass die Aussagen äquivalent sind wenn die Operation transitiv ist und frei ist.

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Bei "Stabilisator" steht etwas unter  https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenoperation#Stabilisator .

"Frei" heißt, wie es aussieht, dass $gx = x$ bzw. $xh = x$ für alle $x$ nur für $g = e$ bzw. $h = e$ gilt.

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Eine Gruppenoperation heißt darüber hinaus "transitiv", wenn für alle $x_1, x_2 \in X$ ein $g \in G$ mit $gx_1 = x_2$ existiert.

( https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenoperation#Transitive_und_scharf… )

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Dankeschön das hab ich jetzt einigermaßen nachvollziehen könne aber wie soll ich den Beweis beginnen?

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Du kannst den Beweis beginnen, indem du zunächst zeigst, dass $\varphi(e_G) = e_H$ ist. Damit dieser Ausdruck wohldefiniert ist, brauchst du die "Freiheit" von $H$.

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Kannst du mir bitte noch erklären was wohlfefiniert bedeutet ich habe die Definition von Wiki nicht sehr gut verstanden. Und danke für deine Hilfe :)

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Wohldefiniertheit von $\varphi$ an der Stelle $e_G$ heißt, dass es nicht mehr als ein $e_H$ gibt, für das $\varphi(e_G) = e_H$ gilt, und dass dieses (das $e_H$) existiert.

Answer 1

also sei $\varphi$ definiert über $\varphi(g) = h \Leftrightarrow g.x_0 = x_0.h$.

Es ist zunächst $\varphi(e_G) = e_H$, da $e_G.x_0 = x_0 = x_0.e_H$. Wegen der "Freiheit" von $H$ ist das $e_H$ in der letzten Gleichung eindeutig und insbesondere $\varphi(e_G)$ damit wohl-definiert.

Seien $g_1, g_2 \in G$ gegeben. Wegen der Transitivität von $H$ existieren $h_1, h_2 \in H$ mit $g_1.x_0 = x_0.h_1$ und $g_2.x_0 = x_0.h_2$.

Wegen der "Freiheit" von $H$ sind diese eindeutig: Aus $g.x_0 = x_0.h = x_0.h'$ folgt $x_0 = x_0.(h' \circ h^{-1})$. Die "Freiheit" impliziert nun $e_H = h' \circ h^{-1}$ und folglich $h = h'$.

Nun kann man ausrechnen:

$(g_1 \circ g_2).x_0 = g_1.(g_2.x_0)$

$= g_1.(x_0.h_2) = (g_1.x_0).h_2 = (x_0.h_1).h_2 = x_0.(h_1 \circ h_2)$.

Dies impliziert

$\varphi(g_1 \circ g_2) = h_1 \circ h_2 = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$.

und die gegebene Abbildung $\varphi$ ist ein Homomorphismus.

Mister

Comments

Bitte, ich hoffe, du verstehst es auch, vor allem die Sache mit der "Freiheit" und der Transitivität.