Geben Sie eine Basis für U1∩U2 und eine Basis für U1+U2 an.

Question

In \( \mathbb{R}^{4} \) betrachten wir \( v_{1}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right), \quad v_{4}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right), \quad v_{5}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {3} \\ {4}\end{array}\right) . \)

Sei \( U_{1}=\mathcal{L}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) die lineare Hülle von \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) und sei \( U_{2}=\mathcal{L}\left(v_{4}, v_{5}\right) . \) Geben
Sie eine Basis für \( U_{1} \cap U_{2} \) und eine Basis für \( U_{1}+U_{2} \) an.

Comments

Für die Schnittmenge sollte gelten
a·[1, 1, 0, 0] + b·[0, 1, 1, 0] + c·[0, 0, 1, 1] = d·[1, 0, 0, 0] + e·[1, 2, 3, 4]
Ich komme auf die Losung von a = 3·e ∧ b = -e ∧ c = 4·e ∧ d = 2·e ∧ e = e
Damit ist [3, -1, 4, 2, 1] ein aufspannender Vektor.

Für die Vereinigungsmenge sehe ich das eine Linearkombination von v1, v2, v3 und v4 den kompletten R4 aufspannt. Damit wäre eine Basis [1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]

Allerdings vermute ich das ich hier irgendwo einen Denkfehler gemacht habe. Ich weiß nur nicht genau wo. Deswegen schreibe ich das zunächst nur als Kommentar und schau mal ob das jemand bestätigen oder widerlegen kann.

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Für die Vereinigungsmenge sehe ich, dass eine Linearkombination von v₁, v₂, v₃ und v4 den kompletten ℝ⁴ aufspannt.

Damit ist U₁+U₂ = ℝ⁴ und {v₁, v₂, v₃, v₄} bereits eine Basis davon und man ist fertig.

 

Damit ist [3, -1, 4, 2, 1] ein aufspannender Vektor.

Das kann nicht sein, der Vektor hat 5 Komponenten.

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Ja. Du hast recht.

a·[1, 1, 0, 0] + b·[0, 1, 1, 0] + c·[0, 0, 1, 1] = d·[1, 0, 0, 0] + e·[1, 2, 3, 4]

Ich komme auf die Losung von a = 3·e ∧ b = -e ∧ c = 4·e ∧ d = 2·e ∧ e = e

Also setzte ich mal d und e auf die Rechte Seite ein.

2·e·[1, 0, 0, 0] + e·[1, 2, 3, 4] = e·[3, 2, 3, 4]

Damit ist die der aufspannende Vektor [3, 2, 3, 4] ?

Answer 1

Für die Schnittmenge sollte gelten

a·[1, 1, 0, 0] + b·[0, 1, 1, 0] + c·[0, 0, 1, 1] = d·[1, 0, 0, 0] + e·[1, 2, 3, 4]

Ich komme auf die Losung von a = 3·e ∧ b = -e ∧ c = 4·e ∧ d = 2·e ∧ e = e

Also setzte ich mal d und e auf die Rechte Seite ein.

2·e·[1, 0, 0, 0] + e·[1, 2, 3, 4] = e·[3, 2, 3, 4]

Damit ist die der aufspannende Vektor [3, 2, 3, 4].

 

Für die Vereinigungsmenge sehe ich das eine Linearkombination von v1, v2, v3 und v4 den kompletten R^4 aufspannt. Damit ist {v1, v2, v3, v4} bereits eine Basis.