Inhomogene DGL zweiter Ordnung/ Fundamentalsystem/ Wronski-Determinante/ Lösungsgesamtheit

Question

Betrachten Sie die inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung $$ y''=6y'-9y+{ e }^{ 3x }. $$

1)

Zeigen Sie, dass durch \( { \phi  }_{ 1 }(x)={ e }^{ 3x }\) und \( { \phi  }_{ 2 }(x)={ xe }^{ 3x }\) ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen Differentialgleichung gegeben wird.

2)

Bestimmen Sie die Wronski-Determinante.

3)

Geben Sie die Lösungsgesamtheit der inhomogenen linearen Differentialgleichung an.

Answer 1

Zu1)

Die Lösung y_h= C_1 *e^{3x} +C_2 e^{3x} *x   2 Mal ableiten und in die Aufgabe einsetzen

Zu 2)

Hier hast Du eine  ähnliche Aufgabe:

http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_2/20_variation_der_konstanten_wronsky.pdf

Zu3) y_p= x^2(A*e^{3x}), 2 Mal ableiten ,Koeffizientenvergleich

y_p= 1/2 e^{3x} *x^2

y=y_h+y_p

Comments

Noch eine Frage: mit y_p meinst du y'' nicht wahr? Und y_h ist dann y'.

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Noch eine Frage: mit y_p meinst du y'' nicht wahr? Und y_h ist dann y'.

->nein

y_h ist die homogene Lösung

y_p ist die part. Lösung

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kannst du ausfuerliche Lösung zeigen ?

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Ich versuche bis heute Abend mal die Lösung ausführlich zu schreiben. Dann kann Grosserloewe diese korrigieren oder bestätigen.

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noch wer lösungswege, die er hier reinstellen könnte? 

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Also zur 1) habe ich folgendes zunächst:

Die zweite Ableitung von y_h= C_1 *e^3x +C_2 e^3x *x  wäre ja: (9C₂x + 6C₂ + 9C₁)*e^3x. Dass soll man dann irgendwie in die erste Gleichung einsetzten.

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x²(A*e^3x) wäre zweimal abgeleitet ja a(9x² + 12x + 2)e^3x. Allerdings wüsste ich hier nicht wie ich den Koeffizientenvergleich ausführen könnte. Also ich wüsste nicht was ich genau vergleichen sollte.