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Betrachten Sie die inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung $$ y''=6y'-9y+{ e }^{ 3x }. $$


1)

Zeigen Sie, dass durch \( { \phi  }_{ 1 }(x)={ e }^{ 3x }\) und \( { \phi  }_{ 2 }(x)={ xe }^{ 3x }\) ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen Differentialgleichung gegeben wird.


2)

Bestimmen Sie die Wronski-Determinante.


3)

Geben Sie die Lösungsgesamtheit der inhomogenen linearen Differentialgleichung an.

von

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Zu1)

Die Lösung y_h= C_1 *e^{3x} +C_2 e^{3x} *x   2 Mal ableiten und in die Aufgabe einsetzen

Zu 2)

Hier hast Du eine  ähnliche Aufgabe:

http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_2/20_variation_der_konstanten_wronsky.pdf

Zu3) y_p= x^2(A*e^{3x}), 2 Mal ableiten ,Koeffizientenvergleich

y_p= 1/2 e^{3x} *x^2

y=y_h+y_p

von 88 k

Noch eine Frage: mit y_p meinst du y'' nicht wahr? Und y_h ist dann y'.

Noch eine Frage: mit y_p meinst du y'' nicht wahr? Und y_h ist dann y'.

->nein

y_h ist die homogene Lösung

y_p ist die part. Lösung

kannst du ausfuerliche Loesung zeigen ?

Ich versuche bis heute Abend mal die Lösung ausführlich zu schreiben. Dann kann Grosserloewe diese korrigieren oder bestätigen.

noch wer lösungswege, die er hier reinstellen könnte?

Also zur 1) habe ich folgendes zunächst:

Die zweite Ableitung von y_h= C_1 *e3x +C_2 e3x *x  wäre ja: (9C2x + 6C2 + 9C1)*e3x. Dass soll man dann irgendwie in die erste Gleichung einsetzten.

x2(A*e3x) wäre zweimal abgeleitet ja a(9x2 + 12x + 2)e3x. Allerdings wüsste ich hier nicht wie ich den Koeffizientenvergleich ausführen könnte. Also ich wüsste nicht was ich genau vergleichen sollte.

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