Laplace Operator, Polarkoordinaten

Question

Aufgabe:

Sei $U ⊂ ℝ^n$ offen. Der Laplace-Operator $Δ: C^2(U,ℝ) → C^0 (U,ℝ)$ ist definiert durch $Δf := ∂_{11} ~ f + ... + ∂_{nn} f.$

Sei $f ∈ C^2(ℝ^2,ℝ)$ und $P: ℝ_{+}$ x $ℝ ∋(r,φ) ↦ (r \cos φ , r \sin φ) ∈ ℝ^2$ die Polarkoordinatenabbildung.

Zeigen Sie, dass mit $F := f \circ P ∈ C^2(ℝ_{+}$ x $ℝ,ℝ$ gilt:

$\frac{∂^2} {∂ r^2} F + \frac{1}{r^2} \frac{∂^2}{ ∂ φ^2} F + \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ r} F (r,φ) = (Δf)(P(r,φ))$

Ich bin mir nicht ganz sicher was ich hier zeigen soll. Dass man den Laplace-Operator in Polarkoordinaten schreiben kann oder das diese Verknüpfung möglich ist? Mir fehlt jeglicher Ansatz.

Comments

 F := f · P (· = verknüpft)

P(r,φ) = (r cos φ, r sin φ), f ∈ C²

Ich habe jetzt x = r cos φ und y = r sin φ gesetzt

Wen ich dF/dr ableite, erhalte ich mit der Kettenregel: dF/dr = dF/dx dx/dr . Jetzt will ich das nochmal nach r ableiten, aber weiß nicht wie.

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Was ist bei euch  " f ∈ C²  "?

Einfach ein Vektor mit 2 komplexen Komponenten?

Dann ist  ^.   eigentlich eher ein Skalarprodukt als eine Verknüpfung von Funktionen. Da braucht man dann keine Kettenregel. 

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Es geht um diese Aufgabe, da stehen die restlichen Infos:

https://www.mathelounge.de/364680/laplace-operator-polarkoordinaten

Mit C² ist der Raum der zweimal stetig diffb. Funktionen gemeint.

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C^k = k-mal stetig differenziertere Funktionen

dF/dr ist mit Kettenregel abgeleitet worden. Jetzt muss ich das aber nochmal nach r ableiten.

Aufgabe ist das hier: https://www.mathelounge.de/364680/laplace-operator-polarkoordinaten

Dort ist zwar ein Link angegeben zu einer Lösung, aber der verwirrt mich ehrlicherweise.

· ist eigentlich ein Kringel, und der war bei uns immer für "Verknüpfung" gemeint.

EDIT: Ich glaube ich hab mich etwas blöd ausgedrückt: Meine Frage ist eher, wie das ganze formal aussieht, also wie ich das aufschreiben muss.

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Siehe hier

https://www.mathelounge.de/364680/laplace-operator-polarkoordinaten#…

@Lu: $f \in C^2$ bedeutet, f ist eine zweimal stetig differenzierbare Funktion.

Answer 1

Siehe hier

https://www.mathelounge.de/242676/transformation-auf-polarkoordinate…

Comments

Hmm ok hab mir die Rechnung angeguckt und die verwirrt mich etwas, da ich ja noch mein $F := f \circ\ P$ habe. Habe noch einen anderen Ansatz gefunden und bin gerade etwas am hapern.

x = r cos δ , y = r sin φ

Ich habe dF/dr mit der Kettenregel abgeleitet, was wie folgt aussieht:

dF/dr = dF/dx * dx/dr

Jetzt will ich das ganze nochmal ableiten nach r, aber wie geht das bzw. wie sieht das formal aus ?

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Hi,

die Ableitung nach $r$ ist nicht richtig, da fehlt noch was. Es gilt ja

$$F(r,\varphi) = f(r \cos(\varphi) , r \sin(\varphi) )$$

Also folgt

$$F_r = f_x x_r + f_y y_r = f_x \cos(\varphi) + f_y \sin(\varphi)$$

$$F_{rr} = f_{xx} \cos(\varphi)^2 + f_{yy} \sin(\varphi)^2$$

$$F_{\varphi} = -f_x r \sin(\varphi) +f_y r \cos(\varphi)$$

$$F_{\varphi \varphi} = f_{xx} r^2 \sin(\varphi)^2 - f_x r \cos(\varphi) + f_{yy} r^2 \cos(\varphi)^2 - f_y r \sin(\varphi)$$

Daraus folgt

$$F_{rr} + \frac{1}{r^2} F_{\varphi \varphi} +\frac{1}{r} F_r = f_{xx} + f_{yy} = \Delta f$$

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Das kann man dann einfach so schreiben ? Fehlt da nicht noch ein Schritt zwischen den Ableitungen und der Lösung ?

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Naja, den letzten Schritt musst Du dann schon selber machen. Aber eigentlich benutzt man hier nur $\cos(\varphi)^2 + \sin(\varphi)^2 = 1$

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Hätte mich jetzt gewundert, dass man das auch einfach so folgern kann.

Noch eine Frage: Wenn ich $F_{φφ}$ berechne, woher kommen denn die $-f_{x} r \ cos\ φ$ und $-f_{y}r \ sin \ φ$ ?

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Wenn man den Term $-f_x r \sin(\varphi)$ nach $\varphi$ differenziert, muss man $f_x$  und $r \sin(\varphi)$ nach $\varphi$ differenzieren. Letzteres ergibt den nachgefragten Term.