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ich habe eine Aufgabe, bei der ich die Schnittpunkte zwischen f(x) = 2x2-12x+17 und g(x) = 2sin((pi/2)*x)+1 bestimmen soll.


Ansich ja ganz einfach, nur die Gleichungen Gleichsetzen und nach 0 auflösen.

nur leider endet mein Umstellungsversuch irgendwann:

2x2-12x+17  = 2sin((pi/2)*x)+1 | -1

2x2-12x+16  = 2sin((pi/2)*x) | :2

x2-6x+8  = sin((pi/2)*x)+1 | -1


Hier komme ich einfach nicht weiter. Wie soll ich x bestimmen, wenn ich es nicht aus der Sinusfunktion extrahieren kann? Probieren wäre eine Möglichkeit, so habe ich auch die Punkte 2, 3 und 4 gefunden, nur ist das ja wohl sicher nicht der richtige Weg (vor allem dann in einer Prüfung).

Kann mir jemand einen Wink geben?


:)

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die Gleichung lässt sich nicht analytisch lösen. Du kannst nicht nach x umstellen.

Allerdings kannst du folgende Überlegungen anstellen:

f(x)=2x^2-12x+17

g(x)=2*sin(π*x/2)+1

2*sin(x*π/2)+1<=3

2*x^2-12x+17>=3

2*x^2-12x+14>=0

x^2-6x+7>=0

(x-3)^2-2>=0

(x-3)^2>=2

|x-3|>=√2

x>=3+√2 oder x<=3-√2

potentielle Lösungen können also nur x∈[3-√2,3+√2]

(Das Minimum von 2x^2-12x+17 ist -1>=-1)

Die Lösungen kannst du nur numerisch bestimmen. Da der Sinus für x=2,3,4 jeweils ganzzahlige Werte annimmt, bieten sich diese Werte zum probieren auch an, das hast du ja schon selbst herausgefunden.

Das sind auch die Lösungen. Es gilt noch zu zeigen, dass es keine weiteren Lösungen mehr gibt.

f'(x)=4x-12

g'(x)=π*cos(x*π/2)

f'(3)=0=g'(3)

f'(4)=4>g'(4)=π

Innerhalb von x∈[3-√2,3+√2] ist g'(x) monoton wachsend, genauso wie f'(x).

Wegen dem Zwischenwertsatz gibt es ein x∈[3,4], sodass f'(x)=g'(x).

Da aber beide Ableitungen in diesem Intervall monoton wachsend sind, kann es neben x=3 nur noch eine weitere Lösung geben für x∈[3,4] (g'(x) ist nach oben beschränkt). Das selbe Verfahren kann auf x∈[2,3] angewendet werden. Es kann also nur 3 Lösungen geben, die du bereits gefunden hast.

Avatar von 37 k
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Die einfachste Form sieht nach weiterer Umstellung so aus:

(x-4)*(x-2)=sin(x*Pi/2)

Weiter kann man sie nicht umstellen.

Da Lehrer immer Aufgabe mit glatten Ergebnissen stellen, kann man nach Verdacht auf

"Nullstellen und Minimum" untersuchen -> und tatsächlich:

x1=2

x2=3

x3=4

sind auf beiden Seiten gleich.

(bei Nullstellen von Polynomen ab Grad 3 aufwärts darf man auch "Raten" statt die komplizierten PQRST

Formeln mit komplexen Zahlen zu verwenden)

(Numerische Lösung geht auch -> Annäherung wie Bisektion oder Newton-Verf.)

Schon die kleinste Änderung wie 2x^2-12x+15  = 2*sin((pi/2)*x)

zeigt total krumme Werte, die dann nur noch mit numerischen Verfahren lösbar sind:

x1≈1.5232354739886452133...

x2≈4.47676452601135478668788...Interessant: (6520699778 Pi)/4575934785=4.476764526011354786628424...
stimmt mit 19 Nachkommastellen überein, ist aber nicht die Lösung!!
Hinweis: mache Lehrer wollen noch einen Hinweis (oder grafische Lösung) , dass es keine weiteren Schnittstellen gibt, da weiteres Auseinanderdriften (divergieren), da quadr. Gl ab x ... nur noch ansteigen.
Avatar von 5,7 k

Ich habe Jc´s Antwort als beste markiert, da sie noch etwas detaillierter ist.

 Aber vielen Dank für die Antwort, hat mir, vor allem auch mit dem erweiterten Beispiel, gut geholfen :)

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