Aussagen wahr oder falsch Basis, Vektoren

Question

Sind die folgenden aussagen wahr oder falsch?

1. Sind (v1,v2) und (v2,v3) Basen des ℝ² so ist auch (v1,v3) Basis des ℝ².

wo ist der unterschied zwischen basen und basis?

2. Ist (v1,v2,v3) ein erzeugendensystem des ℝ² so ist entweder (v1,v2) oder (v2,v3) eine basis des ℝ².

danke

Comments

(1)  Wähle z.B $v_3=v_1$.

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Kommt bei 2. das "entweder" auch im Originaltext vor?

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(2)  Wähle z.B. eine beliebige Basis $\{v_1,v_3\}$ von $\mathbb R^2$ und für $v_2$ den Nullvektor.

Answer 1

bei 1. ist für $v_1 = v_3$ die Menge $\{ v_1, v_3 \}$ keine Basis des $\mathbb{R}^2$.

Eine Basis und noch eine Basis, das sind zwei Basen.

Bei 2. gilt Folgendes: Für $v_2 = 0$ ist weder $\{v_1, v_2\}$ noch $\{v_2, v_3\}$ sondern $\{v_1, v_3\}$ eine Basis des $\mathbb{R}^2$.

Ist $v_3$ ein Vielfaches von $v_1$, so bilden sowohl $\{v_1, v_2\}$ als auch $\{v_2, v_3\}$ eine Basis des $\mathbb{R}^2$.

Mister

Comments

Sei ohne Einschränkung

Erstens ist das eine Einschränkung und zweitens ist der Rest auch falsch.

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Worin besteht die Einschränkung?

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Eine  entweder-oder-Aussage kann auf zwei Arten widerlegt werden :

1. Durch Angabe eines Gegenbeispiels, bei dem beide Alternativen zutreffen
2. durch Angabe eines Gegenbeispiels, bei dem keine der Alternativen zutrifft.

Beide Arten sind hier möglich.

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Wenn die Aufgabenstellung bei 2. ohne das "entweder" lauten würde, so würde Folgendes gelten:

Sei ohne Einschränkung $\{v_1, v_2\}$ keine Basis des $\mathbb{R}^2$. Dann gibt es $a, b \neq 0$ mit $av_1 + bv_2 = 0$ oder $v_1 = cv_2$ für $c = - \frac{b}{a}$.

Das heißt $\{v_2, v_3\}$ und $\{v_1, v_3\}$ erzeugen denselben Vektorraum. Da aber mindestens ein Paar $\{ v_i, v_j \}$ mit $i \neq j$ eine Basis des $\mathbb{R}^2$ sein muss, sind $\{v_2, v_3\}$ und $\{v_1, v_3\}$ Basen des $\mathbb{R}^2$.

Insbesondere ist also $\{v_2, v_3\}$ Basis des $\mathbb{R}^2$.

Dies gilt nur für $v_1, v_2, v_3 \neq 0$.