Punktsymmetrisch zum Wendepunkt? Wie beweist man das mathematisch bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades?

Question

wie beweist man mathematisch, dass der Graph punktsymmetrisch (?) zum Wendepunkt ist?

Answer 1

Symmetrie: Zeige "Jede ganzrationale Funktion ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt"

f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d

f'(x) = 3·a·x² + 2·b·x + c

f''(x) = 6·a·x + 2·b

Wendepunkt f''(x) = 0

6·a·x + 2·b = 0 --> x = - b/(3·a)

f(- b/(3·a)) = (27·a²·d - 9·a·b·c + 2·b³)/(27·a²)

Wendepunkt WP(- b/(3·a) | (27·a²·d - 9·a·b·c + 2·b³)/(27·a²))

Wir verschieben die Funktion f(x) so, dass der Wendepunkt im Ursprung liegt.

g(x) = f(x - b/(3·a)) - (27·a²·d - 9·a·b·c + 2·b³)/(27·a²)

g(x) = a·x³ + (3·a·c - b²)/(3·a)·x

Wir sehen, dass g(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Damit ist f(x) punktsymmetrisch zum Wendepunkt.

Comments

Hier fehlen natürlich wichtige Schritte der Umformung. Die sind wie bei vielen meiner Aufgaben selbständig zu ergänzen.

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Ist mir zuuuu kompliziert. Eine Rechnung an einer von dir gewählten ganzrationalen Funktion, wo du die Koordinaten des Wendepunktes hast, wäre sehr nett :D.

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Wenn du nur eine Funktion ohne Parameter nimmst ist das kein Beweis. Damit zeigst du das es an einer speziellen Funktion funktioniert aber nicht das es an allen Funktionen funktioniert. Klar ist das vielleicht für dich zuerst etwas kompliziert. Das ist es immer, wenn manns noch nie gemacht hat. Wenn ich dich bitte ins Auto zu steigen und mal um block zu fahren wirst du auch sagen das ist kompliziert. Zumindest wenn du noch kein Führerschein hast und noch keine Erfahrung. Dafür macht man ja solche Aufgaben.

Answer 2

 
berechne die Wendestelle und verschiebe den Wendepunkt  in den Ursprung.
Begründe dann, dass die verschobene Funktion symmetrisch zum Ursprung ist: 
Nachtrag: 
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f '(x) = 3ax² + 2bx + c
f "(x) = 6ax + 2b = 0   →   x_w = -b/(3a)   →    f(x_w) = - b·c/(3·a) + 2·b³ / (27·a²) + d
Verschobene Funktion:   
g(x) = 
a·(x - b/(3·a))³ + b·(x - b/(3·a))² + c·(x - b/(3·a)) + d  - (- b·c/(3·a) + 2·b³ / (27·a²) + d)
 g(x) = a·x³ +(c - b²/(3a)) · x  

Die verschobene Funktion hat nur ungerade Potenzen von x, ist also symmetrisch zum Ursprung  (Du musst da allerdings noch einiges selbst rechnen :-))

  Gruß Wolfgang.

Comments

Ist mir zuuuu kompliziert. Eine Rechnung an einer von dir gewählten ganzrationalen Funktion, wo du die Koordinaten des Wendepunktes hast, wäre sehr nett :D. 

Answer 3

Man ermittelt. wie die Funktionsgleichung lauten würde, wenn der Wendepunkt im Ursprung läge, also den WP in den Ursprung verschieben.

Für diese Gleichung muss dann gelten: f(-x) = -f(x)