Verifikation von Identitäten ³√(³√2-1) = 1/3*(³√3 - ³√6 + ³√12)

Question

Aufgabe:

$$ \sqrt [ 3 ] { \sqrt [ 3 ] { 2 } - 1 } = \frac { 1 } { 3 } ( \sqrt [ 3 ] { 3 } - \sqrt [ 3 ] { 6 } + \sqrt [ 3 ] { 12 } ) $$

Kann mir jemand sagen, wie ich hier weiter komme?

Answer 1

Ich würde beide Seiten hoch 3 rechnen.

(12^{1/3} - 6^{1/3} + 3^{1/3})^3

= (12^{1/3} - 6^{1/3} + 3^{1/3}) * (12^{1/3} - 6^{1/3} + 3^{1/3}) * (12^{1/3} - 6^{1/3} + 3^{1/3})

= (144^{1/3} - 72^{1/3} + 36^{1/3} - 72^{1/3} + 36^{1/3} - 18^{1/3} + 36^{1/3} - 18^{1/3} + 9^{1/3}) * (12^{1/3} - 6^{1/3} + 3^{1/3})

= (2*18^{1/3} - 2*9^{1/3} + 36^{1/3} - 2*9^{1/3} + 36^{1/3} - 18^{1/3} + 36^{1/3} - 18^{1/3} + 9^{1/3}) * (12^{1/3} - 6^{1/3} + 3^{1/3})



= (-3*9^{1/3} + 3*36^{1/3}) * (12^{1/3} - 6^{1/3} + 3^{1/3})



= -3*108^{1/3} + 3*54^{1/3} - 3*27^{1/3} + 3*432^{1/3} - 3*216^{1/3} + 3*108^{1/3}



= 9*2^{1/3} - 9 + 18*2^{1/3} - 18

= 27*2^{1/3} - 27



Damit ergibt sich die die Rechte Seite zu

2^{1/3} - 1

Das ist aber auch genau das, was heraus kommt, wenn wir die linke Seite hoch 3 nehmen.

= 27 · 2^{1/3} - 27