Verifikation von Identitäten ³√(³√2-1) = 1/3*(³√3 - ³√6 + ³√12)

Question

Aufgabe:

$$\sqrt [ 3 ] { \sqrt [ 3 ] { 2 } - 1 } = \frac { 1 } { 3 } ( \sqrt [ 3 ] { 3 } - \sqrt [ 3 ] { 6 } + \sqrt [ 3 ] { 12 } )$$

Kann mir jemand sagen, wie ich hier weiter komme?

Answer 1

Ich würde beide Seiten hoch 3 rechnen.

(12^1/3 - 6^1/3 + 3^1/3)³

= (12^1/3 - 6^1/3 + 3^1/3) * (12^1/3 - 6^1/3 + 3^1/3) * (12^1/3 - 6^1/3 + 3^1/3)

= (144^1/3 - 72^1/3 + 36^1/3 - 72^1/3 + 36^1/3 - 18^1/3 + 36^1/3 - 18^1/3 + 9^1/3) * (12^1/3 - 6^1/3 + 3^1/3)

= (2*18^1/3 - 2*9^1/3 + 36^1/3 - 2*9^1/3 + 36^1/3 - 18^1/3 + 36^1/3 - 18^1/3 + 9^1/3) * (12^1/3 - 6^1/3 + 3^1/3)



= (-3*9^1/3 + 3*36^1/3) * (12^1/3 - 6^1/3 + 3^1/3)



= -3*108^1/3 + 3*54^1/3 - 3*27^1/3 + 3*432^1/3 - 3*216^1/3 + 3*108^1/3



= 9*2^1/3 - 9 + 18*2^1/3 - 18

= 27*2^1/3 - 27



Damit ergibt sich die die Rechte Seite zu

2^1/3 - 1

Das ist aber auch genau das, was heraus kommt, wenn wir die linke Seite hoch 3 nehmen.

= 27 · 2^1/3 - 27