aufgaben zu gebrochenrationaler funktion (x²+4)/x2

Question

f(x)=(x²+4)/x²

a) Der Graph der Funktion f, die y-Achse und die Geraden mit der Gleichung y=2 und y=5 begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche- Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der bei Rotation dieser Fläche um die y-Achse.

Ich komme auf V≈17,42

b) Sei u∈ℝ (Plus) . Die Tangente an den Graphen von f im Punkt P (u|f(u)), die x-Achse und die y-Achse begrenzen eine Dreiecksfläche. Bestimmen Sie u so, dass der Inhalt dieser Dreiecksfläche minimal ist.

Für die Tangentengleichung erhalte ich

y= -8/(u³) *x + ((u²+12)/u²)

u=2 ist dann meine Lösung.

Vielleicht kann das jemand nachrechnen!

Comments

Der Graph der Funktion f, die y-Achse und die Geraden mit der Gleichung y=2 und y=5 begrenzen im ersten Quadranten keine Fläche.

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Warum existiert deiner Meinung die Fläche nicht?

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Weil die Funktion aus der Frage keine der beiden Geraden schneidet und einzige Nullstelle bei x=0 liegt.

Tipp: Verwende die Funktion aus der Aufgabenstellung anstatt die aus der Frage.

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Könnte man so machen :D

Answer 1

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x²+4)/x²f₂(x) = 2f₃(x) = 5Zoom: x(-2…2) y(0…6)

a) könnte stimmen.

Comments

Kannst du die andere Aufgabe auch mal ckecken wenn du Zeit hast?

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Für die Tangentengleichung erhalte ich

y= -8/(u³) *x + ((u²+12)/u²)     ich auch

A(u) =o,5 *  u(u² +12) /8  * ((u²+12)/u²) 

= (u² + 12 ) ² / (16u)

A ' (u) =  3(u² -4)(x² + 12) / (16x² ) 

u=2 stimmt.

Answer 2

a)

Definitionsmenge: D = R \ {0}

Symmetrie: Achsensymmetrie da sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Achsensymmetrische Funktion steht.

Verhalten an der Polstelle: Sowohl Zähler als auch Nenner sind immer Positiv. Damit ist

lim (x --> 0) f(x) = ∞

f(x) = (x² + 4)/x² = 1 + 4/x²

Asymptote y = 1

b)

y = 1 + 4/x² --> x = 2/√(y - 1)

∫ (x = 2 bis 5) (pi·(2/√(x - 1))²) dx = 17.42 VE

c)

t(x) = f'(u)·(x - u) + f(u) = - 8/u³·x + 12/u² + 1

Y-Achsenabschnitt t(0) = 12/u² + 1

Nullstelle t(x) = 0

- 8/u³·x + 12/u² + 1 = 0 --> x = 1/8·u³ + 3/2·u

A = 1/2·(12/u² + 1)·(1/8·u³ + 3/2·u) = u³/16 + 3·u/2 + 9/u

A' = 3·u²/16 - 9/u² + 3/2 = 0 --> u = 2

Comments

Hast also alles richtig. Glückwunsch!

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Danke ;) 
Bei b) bin ich aber ganz anders vorgegangen als du, viel umständlicher. Ich hab erst die umkehrfunktion bestimmt und dann das Integral berechnet.

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Hab ich doch auch gemacht ;)