Tangentialvektor der Lösungskurve x^2+y^2=2+t ; x^3-y^3=t

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EDIT. Kopie des ersten Kommentars:

Ich möchte den Tangentialvektor der Lösungskurve x2+y2=2+t, x3-y3=t an der Stelle t=0 berechnen und weiß nicht wirklich wie ich da vorgehen soll. Ich hab gelesen x,y nach t abzuleiten aber ich weiß nicht was das bewirken soll! Kann mir da bitte jemand helfen?

Kann mir bitte jemand folgendes Beispiel bestätigen:

Herr R versucht ein System von Differentialgleichungen zu lösen und  erhält für die Gesuchte Lösungsfunktionen x=x(t), y=y(t) die Beziehung x^2+y^2=2+t, x^3-y^3 = t

Die Startwerte sind x(0)=y(0)=1. R gelingt es nicht die Gleichungen nach x,y aufzulösen und will nun wissen ob für hinreichend kleine t  eine Lösung existiert. Weisen sie nach das eine solche Lösung existiert!

Ich habe nach t umgeformt und die Gleichungen gleich gesetzt. Dann hab ich gezeigt das für x,y=1 die Gleichung 0 wird. Die partiellen Ableitungen habe ich dann auf Stetigkeit untersucht und fy(x,y)≠0 gezeigt. Stimmt das? Und hätte es nicht auch gereicht die Gleichung einfach umzuformen?

Gefragt 19 Sep 2016 von Ti-30X Pro

Hallo....

Ich möchte den Tangentialvektor der Lösungskurve x^2+y^2=2+t, x^3-y^3=t an der Stelle t=0 berechnen und weiß nicht wirklich wie ich da vorgehen soll. Ich hab gelesen x,y nach t abzuleiten aber ich weiß nicht was das bewirken soll! Kann mir da bitte jemand helfen?

2 Antworten

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Hallo,

zum Tangentialraum:

Du musst die beiden Gleichungen impliziert differenzieren.

Zuerst bestimmt man die Punkte, die man untersuchen soll (t=0 einsetzen)

x^2+y^2=2

und x^3-y^3=0

---> (x,y)=(-1,-1) oder (1,1)

Die beiden Ausgangs Gleichungen können zusammengefasst werden auf die Form

x^2-x^3=2-y^2-y^3

Leite beide Seiten nach t ab (x'=dx/dt)

x'*2x-x'*3x^2=-y'*2y-y'*3y^2

Setze x=y=1 ( den Punkt den wir raus hatten)

x'=5y'

x'/5=y'

dy/dx=1/5

Der Tangentialraum ist eine Gerade mit Steigung 1/5 in durch (1,1)

Für x=y=-1 ergibt sich dy/dx =5
Beantwortet 19 Sep 2016 von Gast jc2144 20 k

Ok danke das ist mir jetzt klar, nur wie du auf dy/dx kommst hab ich nicht ganz verstanden. Wenn du x'/5 nach x ableitest bekommst du ja x''raus weil x ja auch von t abhängt. Hab ich die eigentliche Frage richtig beantwortet?

Danke auf alle Fälle für die Hilfe

Es gilt y'/x'=dy/dt*(dt/dx)=dy/dx

Für den anderen Teil der Aufgabe kannst du den Satz über die implizite Funktion verwenden. Du müsstest bloß noch die partielle Ableitung nach x anschauen und zeigen, dass sie ungleich 0 im Punkt (1,1) ist.

+1 Punkt

x^2 + y^2 = 2 + t

x^3 - y^3 = t

Ich mache zunächst eine Gleichung daraus um das t zu eliminieren

x^2 + y^2 = 2 + (x^3 - y^3) --> F(x, y) = x^3 - x^2 - y^3 - y^2 + 2 = 0

f'(x,y) = - Fx / Fy = - (3·x^2 - 2·x) / (- 3·y^2 - 2·y) = x·(3·x - 2)/(y·(3·y + 2))

f'(1,1) = 1·(3·1 - 2)/(1·(3·1 + 2)) = 1/5

Tangente ist also 

y = 1/5 * (x - 1) + 1

Beantwortet 19 Sep 2016 von Der_Mathecoach 232 k

Ok so wie Der_Mathecoach das gerechnet hat versteh ich es. Du hast einfach streng nach der Formel impliziert differenziert und danach den Punkt eingesetzt.

Richtig. Ich habe hier ganz einfach die Formel der impliziten Ableitung benutzt.

Kannst du mir noch sagen ob ich die Ursprüngliche Frage richtig beantwortet habe?

Ja. Du solltest da ja nur zeigen das es eine Lösung gibt ohne sie wirklich auszurechnen. Es langt daher wenn die Partiellen ableitungen nicht Null sind.

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