Noch eine Verständnisfrage: Polynomdivision f(x) = x5 + 4x⁴ + 4x³ , Vielfachheit der Nullstellen erkennen

Question

 f(x) = x⁵ + 4x⁴ + 4x³ , Vielfachheit der Nullstellen. 

Die erste erratene Nullstelle ist x1=0

Nach der ersten Polynomdivision erhalte ich

h(x) = x⁴ + 4x³ + 4x²

Ich errate die Nullstelle x2 =-2

Nach der dritten Polynomdivision erhalte ich

g(x) = x³ + 2x²

Ich errate nochmal 0, also also ist x3=0

k(x) = x² + 2x = 0

= x4/5 = (-2/0)

Also habe ich insgesamt 3 mal eine "0" und zweimal eine "-2" als Nullstelle.

Ist dieses Prinzip das einfachste und so richtig?

Answer 1

f(x) = x⁵ + 4·x⁴ + 4·x³

x³ ausklammern

f(x) = x³·(x² + 4·x + 4)

Binomische Formel einsetzen

f(x) = x³·(x + 2)²

Nun haben wir die Faktorisierte Form und können die Nullstellen mit Vielfachheit ablesen.

x = 0 als dreifache Nullstelle

x = -2 als doppelte Nullstelle

Comments

Danke, das finde ich besser :)

Answer 2

Nein ist es nicht. Du kannst auch direkt zu Beginn das x³ ausklammern:

x³*(x²+4x+4)=0

Nach dem Satz vom nullprodukt hast du nun bei x=0 eine dreifache Nullstelle und kannst mit dem Rest pq-Formel oder etwas anderes machen  (binomischen formel oder faktorisieren).