0 Daumen
815 Aufrufe

Berechne alle Ableitungen von f(x) = log(x)

Gib die allgemeine Formel für die n-te Ableitung an.


Ich hab so angefangen:

f'(x) = 1/x

f''(x) = -1/(x²)

usw.


Wir haben folgende Formel aufgeschrieben, aber ich versteh nicht wofür die Variablen stehen.

$$ { f }^{ (n+1) }(x)\quad :=\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { f }^{ (n) }(x+h)-{ f }^{ (n) }(x) }{ h }  }  $$

von

Du erhältst die n+1 Ableitung wenn du die n. Ableitung nochmals mit Hilfe des Differentialquotienten ableitest.

Das ist die sogenannte h Methode. Allerdings hat man sich dafür ja eine reihe Ableitungsregeln hergeleitet.

Und da du sicher die Ableitungsregeln verwenden darfst ist die aufgeschriebene Formel unnötig für das Lösen der Aufgabe.

3 Antworten

0 Daumen

f ' (x0) = limx→x0  \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)}\)  = limh→0 \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\)  

ist die Definition der Ableitung einer Funktion f

Die n+1-te Ableitung  f(n+1) ist  die Ableitung der  n-ten Ableitung f(n) ,

  also  f(n+1) =  f(n) 

Wenn du  f(n) für  f oben in die h-Formel einsetzt (x=x0), hast du die in der Aufgabe angegebene Gleichung.

Allerdings wäre das bei der Berechnung der Ableitungen von log(x) sehr aufwändig.

Nimm dazu die Antwort von Mathecoach.

Gruß Wolfgang

 

von 85 k 🚀
0 Daumen

Tipp: Du bildest so lange die Ableitungen bis du schön das Muster erkennen kannst, wie die Ableitungen sich zusammensetzen. Dann schreibst du den allgemeinen Term auf.

f(x) = ln(x)

f'(x) = 1/x = x^-1

f''(x) = -1 * x^-2

f'''(x) = -1 * (-2) * x^-3

f''''(x) = -1 * (-2) * (-3) * x^-4

f^n(x) = (-1)^{n-1} * (n-1)! * x^{-n}

von 388 k 🚀
0 Daumen

Wenn mit log(x) der natürliche Logarithmus gemeint ist, gilt f(n)=(-1)n-1(n-1)!/xn. Mit f(n) ist die n-te Ableitung gemeint.

von 103 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community