Differential mit Hilfe seiner Definition bestimmen

Question

Hallo Mathe-genies,

Ich habe leider Probleme bei einer Aufgabe und hoffe, dass ihr mir da weiterhelfen könnt. Es geht darum, ein Differential mit Hilfe seiner Definition zu bestimmen - leider kann ich mit dieser Definition nichts anfangen...

Man hat gegeben: z = F(K,L) = 80K⁷ + 20L⁵

Wie gesagt, leider verstehe ich aktuell nur Bahnhof...

danke für die Hilfe

Answer 1

Ich weiss nicht, welche Definition Du meinst, aber mit der von Leibniz geht es so: $$\begin{aligned}dz&=&F(K+dK, L+dL)-F(K,L)\\ &=&80(K+dK)^7+20(L+dL)^5-80K^7-20L^5\\ &=&80(K^7+7K^6\,dK+\cdots)+20(L^5+5L^4\,dL+\cdots)-80K^7-20L^5\\ &=&560K^6\,dK+100L^4\,dL.\end{aligned}$$ Hoehere Potenzen der Differentiale werden einfach aus dem Ergebnis gestrichen. :)

Comments

Oder etwas kürzer (was aber das selbe ist!)

$$dz = \frac {\partial z}{\partial K} dK + \frac {\partial z}{\partial L} dL = 80\cdot 7 K^6 dK + 20\cdot 5 L^4 dL$$

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Wie kommst du bei Delta z über Delta K (und Delta z über Delta L) auf die 80, resp. 20?

dK und dL scheinen dann einfach die Ableitungen zu sein.

Danke sehr!