Ja,
dxdx=rdrdπ,
ist der Zusammenhang zwischen Maß in kartesischen und Polarkoordinaten. Das "r" ist die Funktionaldeterminante (Stichwort Transformationssatz):
Nehmen wir an du hast eine Transformation zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten:
Φ : (φr)↦(rsinφrcosφ).
Dann ist die Jakobimatrix
DΦ=(∂r∂Φ1∂r∂Φ2∂φ∂Φ1∂φ∂Φ2)=(cosφsinφ−rsinφrcosφ)
und die Determinante detDΦ=r.
Wegen dxdy=∣detDΦ∣drdφ hast du dieses r.
Und wenn du die "1" über eine Menge integrierst, bekommst du eben das Volumen (in dem Fall Flächeninhalt) der Menge. Genauso, wie du, wenn du in einer Dimension von 1 bis zwei integrierst:
∫12dx=2−1=1
die Länge des Intervalls [1,2] erhältst.