0 Daumen
1,5k Aufrufe

∫  ∫   ∫ (x1²*x2*(cos(x1x2)  dx3dx2dx1

 Die Grenzen des ersten Integrals ganz links sind:

oben: 1     unten: x1=0

des zweiten Integrals in der Mitte:

oben: 4      unten: x2=1

des dritten, inneren Integrals:

oben: π     unten: x3=0

Ich habe mich da irgendwo verrechnet.

Bei der dritten Integration nach dx1 starte ich mit

∫ 3πx1*sin(4x1) dx1

Und komme dann nach partieller Integration auf 0, bevor ich überhaupt die Grenzen einsetzen kann, was ja nicht stimmen kann.

Könnt Ihr mir bitte sagen, ob das Integral richtig ist oder ob ich mich vorher schon vertan habe.

Avatar von 3,5 k

nur dass wir nicht aneinander vorbeikalkulieren ...

01140πx12x2cos(x1x2)dx3dx2dx1 \int_{0}^{1}\quad \int_{1}^{4}\quad\int_{0}^{\pi}\quad x_1^2 \cdot x_2 \cdot \cos(x_1\cdot x_2) \quad dx_3\quad dx_2\quad dx_1

 ... ist wirklich die Aufgabe ?

Ja genau ;)

Und die Integrationsreihenfolge passt wegen der variablen Grenzen auch.

Wo sind hier variable Grenzen? Die sind doch alle fest!

Die Reihenfolge der Integration ist übrigens unwesentlich - dabei kann man es sich eventuell einige Probleme ersparen!

2 Antworten

+1 Daumen

01140πx2ycos(xy)dzdydx\int_0^1 \int_1^4 \int_0^\pi x^2 \cdot y \cdot \cos(xy) \, dz \, dy \, dx

=0114x2yπcos(xy)dydx= \int_0^1 \int_1^4 x^2 \cdot y \cdot \pi \cdot \cos(xy) \, dy \, dx

=01x2π14ycos(xy)dydx= \int_0^1 x^2 \pi \int_1^4 y \cdot \cos(xy) \, dy \, dx

=π01x2[cos(xy)+xysin(xy)x2]y=1y=4dx= \pi \int_0^1 x^2 \left[ {\cos(xy)+xy\sin(xy) \over x^2} \right]_{y=1}^{y=4} \, dx

Grüße,

M.B.

Avatar von

Danke erstmal!

Bis zur dritten Zeile habe ich es auch so.

Kannst du mir mal die partielle Integration vorrechnen, also der Übergang von Zeile 3 zu Zeile 4.

Ich komme da auf [π*x*y*sin(xy)-π*x*sin(xy)]

(ich habe die Variablen hier umbenannt.)

(Bei Dir integrierst Du über y, dann ist x eine Konstante.)

Mit

uvdx=uvuvdx\int u'v \,dx = uv - \int uv' \,dx

u=cos(ax),  u=1asin(ax),  v=x,  v=1u' = \cos(ax),~~u = {1\over a}\sin(ax),~~v = x,~~v' = 1

hast Du dann

xcos(ax)dx\int x\cos(ax) \,dx

=1axsin(ax)1asin(ax)dx= {1\over a}x\sin(ax) - \int {1\over a}\sin(ax) \,dx

=1axsin(ax)+1a2cos(ax)= {1\over a}x\sin(ax) + {1\over a^2}\cos(ax)

Grüße,

M.B.

Kannst du mal die Endlösung einstellen?

die eckige Klammer ist eine Stammfunktion über y, Du kannst also das x2 x^2 rausziehen und kürzen. 4 und 1 einsetzen schaffst Du wohl selber, und der sich ergebende Term lässt sich leicht nach x integrieren. (Du hast eine partielle Integration oben, die kannst Du anpassen.)

Grüße,

M.B.

0 Daumen

Kannst du mal die Endlösung einstellen?

Also ich habe erhalten:

π/2 ( -4 sin(1) +sin(4) +2 cos(1) -2 cos(4)

≈ -2.725

Avatar von 121 k 🚀

scheint zu stimmen.

Grüße,

M.B.

Kann ich auch bestätigen :D

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage