Unter allen Rechtecken gegebenen Umfangs bestimme man das flächengrößte.
Frage ist wie berechnet man so etwas?
lg
Der gegebene Umfang sei u. Die Seitenlängen des Rechtecks seien a und b. Dann ist u = 2(a+b) oder (i) b= u/2-a und (ii) F = a·b. (i) in (ii) eingesetzt, ergibt: Fu(a)=a(u/2-a) oder Fu(a)=a·u/2-a2. Das ist eine Funktionenschaar mit dem Schaarparameter u. Die Nullstelle ihrer ersten Ableitung nennt das a in Abhängigkeit von u, für welches das flächengrößte Rechteck gefunden werden kann.
Man sollte noch hinzufügen, das die Schar Fa nach unten geöffnete Parabeln darstellt, die als einzigen Extrempunkt einen Hochpunkt haben.
Ja, das ist ein wertvoller Zusatz.
Hallo Roland,
du kannst noch einen Schritt weiter gehen.
F ( a ) =a·u/2 - a2.
1.Ableitung bilden
F ´( a ) = u/2 - 2 * a
Der Extrempunkt ( größter Flächeninhalt ) ist beiU / 2 - 2 * a = 0a = U / 4
Eingesetzt in (i) b= u/2-a = U / 2 - U / 4 b = U / 4
a = b
Das flächengrößte Rechteck ist stets ein Quadrat.
mfg Georg
Georg,
Danke für deinen Zusatz. Ich wollte dem Fragesteller noch etwas zum Selbstentdecken übrig lassen. Ich war da allerdings nicht sehr konsequent, denn ich hätte sehr viel weiter im Allgemeinen bleiben können.
Zur Beantwortung der Frage wurde / mußte die Differentialrechnungbenutzt werden.Ich nehme an die hast du noch nicht gehabt.mfg Georg
doch hatte ich bereits ist mir dennoch nicht ganz klar wie ich das angehen muss...
Hallo Gucki123,
Seitenlängen des Rechtecks a und bU ist der UmfangU = 2 * ( a + b ) Eine Seitenlänge kann ausgedrückt werden alsb = U / 2 - aF ist die FlächeF = a * bb eingesetzt F = a * ( U / 2 - a )F = U / 2 * a - a^2U wird in der Formel als Konstante angesehenDie Fläche F ist nur noch von a abhängig.F ( a ) = U / 2 * a - a^2( Die Funktion kannst du dir mit U = 1 und a = x alsFunktion 1 / 2 * x - x^2 einmal plotten lassen. Ich könnte diesebei Bedarf auch einstellen )Jetzt wird das Maximum der Funktion F ( a ) = größte Flächebestimmt. 1.Ableitung bilden, zu Null setzen und berechnen.( siehe auch meinen Kommentar bei Rolands Antwort )
Der Extrempunkt ( größter Flächeninhalt ) ist bei U / 2 - 2 * a = 0 a = U / 4
usw
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