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Aufgabe mit Lösung

Ich habe momentan noch Probleme bei Aufgaben dieser Art (also Stetigkeit). Das pink-makierte ist all das was ich nicht zu 100% verstehe. Vielleicht ist die Aufgabe ja für den einen oder anderen glasklar und möchte mir gerne helfen sie zu verstehen :)

 

HIer also meine Fragen zur Lösung.

1) Was genau ist gemeint mit für (x,y) ungleich (0,0) sei f als Komposition stetiger Funktionen stetig? Würde mich über eine verständliche Erklärung dieses Satzes freuen!

2) Wieso ist hier der Ansatz, dass man Polarkoordinaten zur Lösung heranzieht? 

3) Der berechnete Grenzwert ist 0. Warum ist damit die Funktion im Nullpunkt stetig?

Freue mich auf Antworten! :)

von

1 Antwort

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1) Was genau ist gemeint mit für (x,y) ungleich (0,0) sei f als Komposition stetiger Funktionen stetig? Würde mich über eine verständliche Erklärung dieses Satzes freuen!

Dieser Satz hatte mich im Abi die 1+ gekostet. Wir sollten für irgendeine dumme Funktion zeigen, dass sie stetig ist und ich hatte keinen Plan. Als ich die Lehrerin nach dem Abi dann gefragt hatte, meinte sie: Da sollte nur stehen, dass die Komposition mehreren stetiger Funktionen wieder eine stetige Funktion ist. 

Also das heißt hat man das Produkt, Summe oder Differenz zweier stetiger Funktionen, hat man wieder eine stetige Funktion. Hat man den Quotienten zweier stetiger Funktionen, hat man auch wieder eine stetige Funktion, solange die Nennerfunktion nicht null wird.

Wenn du also weißt, dass x, y, x^2y^2 getrennt stetig sind ist auch die Komposition daraus stetig. Wir haben hier im Nenner x^2 + y^2 und das ist nur 0 für x und y = 0. Das wurde aber ausgeschlossen.

Damit wissen wir das die gegebene Funktion für (x,y)  (0,0) stetig ist.

von 294 k

2) Wieso ist hier der Ansatz, dass man Polarkoordinaten zur Lösung heranzieht?

Du musst ja den Bereich direkt um (0, 0) herum untersuchen.

Also alle Punkte die einen beliebig kleinen Abstand haben. Was liegt dort näher als die Menge einfach über den Abstand r zu bestimmen. Also nimmt man Polarkoordinaten.

Es galt ja bei einer normalen eindimensionalen Funktion das sie stetig ist wenn rechter Grenzwert = Linker Grenzwert = Funktionswert.

Hier haben wir hat Grenzwert drumherum = Funktionswert an der Stelle (0,0).

Konntest du das soweit verstehen?

"Dieser Satz hatte mich im Abi die 1+ gekostet."

Wenn ich dir hier mal eine Note für Mathelounge.de vergeben darf, 1+++ mit Auszeichnung.

Oder besser gesagt, 20 von 15 möglichen Punkten =)

Liebe Grüße ;)
Kai

Ein kleiner Tippfehler ist da aber trotz der 20 Punkte passiert ;)

"Es galt ja bei einer normalen Zweidimensionalen Funktion das sie stetig ist wenn rechter Grenzwert = Linker Grenzwert = Funktionswert."

Das sollte sicher auf eindimensionale Funktionen bezogen sein.

Übrigens:
Wenn man die Stetigkeit hier ohne Polarkoordinaten nachweisen möchte, kann man |x|y²/(x²+y²) ≤ |x| abschätzen. Und für (x,y)→(0,0) geht das natürlich gegen Null.
Du bringst Licht ins Dunkel!   :) Den Satz habe ich also jetzt verstanden!

Das mit den Polarkoordinaten ist mir aber noch nicht wirklich klar. Könntest du das vielleicht etwas genauer erläutern?

Dass man den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert betrachtet und vergleicht, habe ich auch verstanden, vielleicht ist es gerade das, was mich verwirrt mit den Polarkoordinaten.. :D

Die Betrachtung eines "linken" und eines "rechten" Grenzwertes ist für gewöhnlich nicht Teil der Definition der Stetigkeit. Woher kommt diese seltsame Auffassung? Für einen Stetigkeitsnachweis wird sie nicht benötigt, sie allenfalls in einigen Fällen nützlich, um die Nichtstetigkeit zu zeigen.

Bei der Normalen Funktion konnten wir ja einfach x gegen ein bestimmten Wert gehen lassen und den Grenzwert berechnen.
Bei zweidimensionalen Funktionen könnten wir jetzt x gegen die Grenze gehen lassen und dabei voraussetzen das y null ist. Oder y gegen null gehen lassen wenn x schon null ist.

Man kann aber auch einfach den Punkt (x, y) nehmen und den Abstand dieses Punktes gegen null gehen lassen. Damit untersucht man dann alle Punkt, die einen minimalen Abstand zum Punkt (0, 0) haben.

[r*cos(α), r*sin(α)] ist ja ein Punkt im Abstand von r zum Koordinatenursprung der in der Richtung des Winkels α zur positiven x-Achse liegt. Dabei beschreibt [r*cos(α), r*sin(α)] die Punktemenge auf einem Kreis, die den Abstand von r zum Koordinatenursprung hat. Und jetzt zieht man den Kreis immer kleiner und schaut ob der Grenzwert aller dieser Punkte der selbe ist oder eventuell von α abhängt. Im obigen Fall ist der Grenzwert aller dieser Funktionen null und man ergänzt dann die Funktion über eine Definition am Punkt (0, 0) und sorgt damit das die Funktion dann stetig ist.

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