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In der Aufgabe soll der Grenzwert der Reihe berechnet werden (Lösung):

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+7 n+12}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+3)(n+4)} \)
\( =\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6} \ldots \)
\( =\frac{1}{3} \)


Ich verstehe allerdings die Umformung nicht vom zweiten auf den dritten Term..

Wie kommt dort das Minus-Zeichen hin?

von

4 Antworten

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Beste Antwort
Das ganze geschieht über Partialbruchzerlegung. Man vermutet eine Zerlegung wie folgt

1/((n+3)(n+4)) = a/(n+3) + b/(n+4)

Wir multiplizieren mal alles mit dem Hauptnenner

1 = a*(n+4) + b*(n+3)

Wir setzen mal für n -4 und -3 ein

1 = a*(-4+4) + b*(-4+3)
1 = -b
b = -1

1 = a*(-3+4) + b*(-3+3)
1 = a
a = 1

1/((n+3)(n+4)) = 1/(n+3) - 1/(n+4)
von 316 k 🚀
wow, da steckt echt eine partialbruchzerlegung hinter!
da hätte ich so nie gesehen :D

vielen dank! :)
Ist in der Lösung auch etwas blöd gemacht. Man hätte wenigstens den Hinweis Partialbruchzerlegung anführen können. Aber da man bei Integralen und Summen eh immer Probiert aufwendigt Brücher über Partialbruchzerlegung zu zerlegen war man davon wohl ausgegangen das ihr das kapiert.
+1 Daumen
Kontrolle der Partialbruchzerlegung:

1/(n+3) - 1/(n+4) = (n+4 - (n+3))/((n+3)(n+4))= 1/((n+3)(n+4))
ist ok.
von 158 k 🚀
+1 Daumen

Hi, das ist eigentlich ein Fall für eine Partialbruchzerlegung ohne Ansatz, denn beim Betrachten des blauen Quotienten erweist sich der Zähler als Differenz der Faktoren des Nenners, also haben wir

1/(n^2+7n+12) = 1/((n+3)*(n+4)) = ((n+4)-(n+3))/((n+3)*(n+4)) = 1/(n+3)-1/(n+4).

von
0 Daumen
Sieht für mich auch so aus, als ob das auch eigentlich mit "mal", anstelle von "minus" gerechnet wird.

Denn die Operation unter dem Bruch, zwischen den Klammern, ist ja Mulitplikation.
von

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