Überprüfung einer Äquivalenzrealtion auf K^{mxn} Matrix

Question

Für Matrizen A,B ∈ K^{mxn} schreibe A ~ B, wenn es invertierbare Matrizen

L ∈ K^{mxm} und R ∈ K^{nxn} gibt s.d. B = LAR. Man überprüfe: ist eine Äquivalenzrelation

auf K^{mxn}.

Ich hab keine Ahnung wie ich da auf die Lösung kommen soll, da wir dort nur eine Allgemein Regel zum abschreiben bekommen haben. Würde mich über Hilfe und eine Erklärung sehr freuen.

Answer 1

Äquivalenzrelation   reflexiv symm. und transitiv

reflexiv ?  Gibt es zu jeder Matrix M invertierbare L und R mit

A = L * A * R   wähle die passenden Einheitsmatrizenfür L und R, dann klappt es .symm    aus    A = L * B * R  folgt B = L^-1  * A * R^-1  passt also auch.transitiv ? passt auch setze   in A = L*B*R einfach ein

B = L2 * C * R2 und bedenke  L*L2 ist dann auch invertierbar  etc.

Comments

Bei der Aufgabe steht nicht dabei ob sie reflexiv, symm. oder transitiv ist.

Und bei deiner Antwort blick ich gerade nicht so ganz durch ... Bin einfach nicht drin in der Materie.

Muss ich also einfach A = L * B * R ⇒ B = L^{-1} * A * R^{-1} ⇒ A ~ B schreiben?

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Bei der Aufgabe steht nicht dabei ob sie reflexiv, symm. oder transitiv ist.

Natürlich nicht, das sollst du ja prüfen. Ich mach es mal was ausführlicher:etwa "transitiv"  heißt, wenn A ~ B und B ~ C dann muss auch immer A ~ C gelten.Das kannst du jetzt prüfen, indem du dir (nach der Def. von ~ ) überlegst, ob das immer

stimmt.  Also A ~ B und B ~ C   heißt

Es gibt invertierbare Matrizen  L , R , L2 ,  R2   ( der richtigen Größe) so, dass gilt

A = L * B * R   und   B = L2 * C * R2also gilt auch durch Einsetzen

A  = L * ( L2 * C * R2) * R    und wegen des Assoziativität

      =  (L * L2) * C * (R2 * R   ) 

und L*L2 und R2 * R  sind aber nun auch invertierbare Matrizen, also gilt auch,dass es invertierbare Matrizen gibt , für die gilt     A   =  (L * L2) * C * (R2 * R   ) und damit nach Def. von ~ eben  A ~ C .  Damit ist die

Transitivität bewiesen.Ähnlich ausführlich müsstest du es wohl für reflexiv und symm. auch machen.