Lösungsmenge von z^2 = -i?

Question

Die Aufgabe ist es die Lösungsmenge von z² = -i zu finden.

Ich habe bereits damit angefangen und gesagt, dass z^2 ja nichts anderes ist als a² + 2abi - b² = -i.

Dann habe ich es in den Realen und den Imaginären Teil aufgeteilt und weiters gesagt, dass a²-b² = 0 und 2ab = -1.

Ich kenne an sich durch das Internet auch den weiteren Weg, jedoch kann ich ihn in leider nicht wirklich nachvollziehen und wollte fragen, ob mir das hier vielleicht jemand erklären könnte...

Comments

so richtig fertig bist ja noch nicht mit der Berechnung von z , oder?

Answer 1

a + b i  = x + y i    ⇔    a = x  und b = y  

weil Realteile und Imaginärteile nicht miteinander verrechnet werden können, müssen sie jeweils getrennt übereinstimmen.

Deine Überlegungen zur Aufgabe sind also richtig.

Jetzt musst du nur nach das Gleichungssystem lösen:

a²- b² = 0  

2ab = -1   →  a = -1/(2b)

Nachtrag (obwohl du danach eigentlich gar nicht gefragt hattest):

 [ -1/(2b) ]² - b² = 0 

1 /  (4b²)  -  b² = 0  | * 4b²

1 -  4b⁴= 0

b⁴ = 1/4  →  b₁ = √(1/2) =  √2/2  und  b₂ = - √2/2   

               →   a₁ = - √2/2               und   a₂ = √2/2 

Nachtrag Ende

z₁ = - √2/2 + √2 / 2  · i    ;    z₂ = √2/2 - √2/2 · i

Gruß Wolfgang