(a) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: Für jedes n ∈ N ist 3n - 3 ohne Rest durch 6 teilbar.
(b) Erinnerung: Die Fibonacci-Zahlen sind definiert durch
$${ F }_{ 1 }:=1\quad ;\quad { F }_{ 2 }:=1\quad ;\quad { F }_{ n+1 }:={ F }_{ n }+{ F }_{ n-1 }$$ , n∈ℕ, n≥2.
Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: Für jedes n∈N gilt $$\sum _{ k=1 }^{ n }{ { F }_{ k }^{ 2 } } ={ F }_{ n }\quad \cdot \quad { F }_{ n+1 }$$ (*)
zu a) Ich weiß nicht, wie ich dies mit vollständiger Induktion beweisen soll. Da bei dem Induktions-Beweis ja immer gezeigt wird, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Aber hier habe ich ja keine Gleichung gegeben? Oder muss ich mir die Gleichung aufstellen als 3n-3=x (x∈ℤ)? Oder wie muss ich hier vorgehen?
zu b) Ich weiß nicht, wie ich mit den F's umgehen soll. Wie ich damit Berechnungen anstellen kann? Induktionsfang bis Induktionsbehauptung habe ich, jedoch komme ich bei dem Induktions-Beweis nicht weiter.
Induktionsanfang: n=1
linke Seite: (F1)^2 = 1^2 = 1
rechte Seite: F1 * F1+1 = F1 * F2 = 1*1 = 1 also l.S.=r.S.
Induktionsvoraussetzung: (*) gilt für ein n∈ℕ
Induktionsschritt: n↦n+1
Induktionsbehauptung: $$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ { F }_{ k }^{ 2 } } ={ F }_{ n+1 }\quad \cdot \quad { F }_{ (n+1)+1 }$$
Induktionsbeweis: $$l.S.=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { F }_{ k }^{ 2 } } +{ F }_{ n+1 }^{ 2 }\quad =(IV)\quad { F }_{ n }\quad \cdot { \quad F }_{ n+1 }+{ F }_{ n+1 }^{ 2 }$$
ab hier komme ich dabei nicht mehr weiter..
Ich freue mich über jede Hilfe!
