Question

Zeigen Sie: Sei f : V → W lineare Abbildung. Dann gilt:

f : V → W injektiv ⇔ Ker(f) = {0}.

Hinweis: Es sind hier zwei (!) Richtungen zu zeigen

! Und wieder eine Frage: Wie zeige ich: Eine lineare Abbildung zwischen 2 Räumen der Dimension n ist genau dann surjektiv wenn sie injektiv ist? Wir wissen: wenn f injektiv ist, genau dann ist Kern(f) = {0}. Wir wissen auch: wenn f surjektiv ist, genau dann ist dim Bild(f)= dim W. Nach der Dimensionsformel gilt: Kern(f)={0} <=> dim Bild(f) = dim V, da die Dimension des Kerns ja Null ist, wenn er nur aus der Null besteht. Das heißt: f injektiv <=> Kern(f)={0} <=> dim Bild(f)= dim V (=dim W)     <=> f surjektiv. HILFE! Ich verstehe nicht: 1. Injektiv wenn Kern(f) = 0 2  Surjektiv wenn dim Bild(f) = dim(W) Wer kann mir das anschaulich erklären?

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Keiner ein Ansatz ?????

Answer 1

1. Der Kern von f ist die Menge aller Punkte, die von f auf Null abgebildet werden. \(\operatorname{Kern}(f)=\{0\}\) heißt also, dass Folgendes gilt: $$f(x)=0 \Leftrightarrow x=0.$$ Die Injektivität ist dabei wegen der Richtung => gegeben, da injektiv ja bedeutet, jeder Punkt im Bildbereich wird höchstens einmal getroffen, ergo: $$f(a)=f(b) \Leftrightarrow a=b.$$ Zusammen mit der Linearität, kann man zeigen, dass "injektiv in Null" (die erste Aussage oben) äquivalent ist zu injektiv auf dem ganzen Definitionsbereich: $$f(a)=f(b) \Leftrightarrow f(a)-f(b)=0 \Leftrightarrow f(a-b)=0 \Leftrightarrow a-b=0 \Leftrightarrow a=b.$$ Also, wenn man \(f(x)=0 \Leftrightarrow x=0\) und "f linear" annimmt, ist die Funktion f auch schon injektiv.

2. Surjektiv bedeutet, dass jeder Punkt im Bildbereich mindestens einmal getroffen wird, also: $$\forall w \in W\ \exists v \in V\colon f(v)=w.$$ Nun ist \(\operatorname{Bild}(f) = f(V) = \left\{f(v)\ \middle|\ v\in V\right\}.\) Also ist \(\dim(\operatorname{Bild}(f))=\dim(W)\) genau dann, wenn \(\operatorname{Bild}(f)=W\), da Bild(f) ein Untervektorraum von W ist (f bildet nur auf Elemente in W ab, deshalb sind alle Elemente, die f "treffen" kann, sicher Teilmenge von W, die anderen Eigenschaften des UVR folgen aus der Vektorraumstruktur von V und der Linearität von f). V ist ein Vektorraum, damit ist f(V) ein Untervektorraum von W, und ein Untervektorraum von W mit gleicher Dimension wie W muss ganz W sein.

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Danke für sehr ausführliche Veranschaulichung.

Allerdings fällt es mir immer noch schwer es mathmatisch zubeweisen.