Für das Doppelintegral gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder du schreibst das Integral abhängig von x und schreibst die Grenzen von y als Funktionen von x, oder umgekehrt. In diesem Fall ist es viel leichter, die Grenzen in Abhängigkeit von y zu schreiben (denke dir dazu das ganze Diagramm gespiegelt an der ersten Winkelhalbierenden, der Geraden y=x). Dann ist:
A=∫01∫−y−1y+11dxdy=∫01y+1−(−y−1)dy=∫012y+2dy=12+2−0=3.
Wir integrieren quasi "von unten nach oben" statt "von links nach rechts" wie üblich.
Da die Rotation um die
x-Achse bereits beantwortet wurde, beantworte ich jetzt mal die Rotation um die
y-Achse, falls das die Frage war.
In diesem Fall haben wir als Volumen das Volumen eines Kegelschnittes, also großer Kegel - kleiner Kegel:
V=r12⋅h1⋅3π−r22⋅h2⋅3π=(r12⋅h1−r22⋅h2)⋅3π=(22⋅2−12⋅1)3π=37πÄhnlich wie bei der Fläche und mithilfe der Kreisgleichung
x2+z2=r2=(y+1)2 ⇔z=±(y+1)2−x2 erhalten wir:
V=∫01∫−y−1y+1∫−(y+1)2−x2(y+1)2−x21dzdxdy=∫01∫−y−1y+12(y+1)2−x2dxdy=[x=(y+1)sin(ϕ),dx=(y+1)cos(ϕ)dϕ]=∫01∫−π/2π/22(y+1)cos(ϕ)(y+1)2−(y+1)2sin(ϕ)2dϕdy=∫01∫−π/2π/22(y+1)21−sin(ϕ)2cos(ϕ)dϕdy=[sin(x)2+cos(x)2=1]=∫−π/2π/22∣cos(ϕ)∣cos(ϕ)∫01(y+1)2dydϕ=∫−π/2π/22∣cos(ϕ)∣cos(ϕ)3(1+1)3−(0+1)3dϕ=∫−π/2π/22∣cos(ϕ)∣cos(ϕ)37dϕ=[∀ϕ∈[−2π,2π] : cos(ϕ)≥0]=37∫−π/2π/22cos(ϕ)2dϕ=[2cos(ϕ)2=cos(2ϕ)+1]=37∫−π/2π/2cos(2ϕ)+1dϕ=37∫−π/2π/2cos(2ϕ)dϕ+37∫−π/2π/21dϕ=37(2sin(π)−sin(−π))+37(2π−(−2π))=0+37π=37π.