Funktionenscharen bestimmen. 13a) f_(k)(x) = -x^3 + kx^2 + (k-1)x

Question

 könnte mir jemand bei diesen Aufgaben helfen? Ich brauche einen Anfang.

Answer 1

zu 13a) Alle Kurven der Schaar gehen durch (0/0), denn man kann x ausklammern. Gleichsetzen von f_k(x) und f_j(x) und Addition von x³ auf beiden Seiten ergibt nach Division durch x : kx+k-1=jx+j-1. Auf beiden Seiten 1 addieren und ausklammern ergibt: k(x+1)=j(x+1). Wenn k≠j, dann muss x+1=0 gelten. Daher Schnittpunkt bei x=-1.

Answer 2

13)\(f_k(x)=-x^3+kx^2+(k-1)x\)
Zeigen sie, dass sich alle Funktionsgraphen in genau 2 Punkten schneiden

\(f_k(x)=-x^3+kx^2+kx-x\)

Ich setze nun \(k=0\) und erhalte  \(p(x)=-x^3-x\)

Ich bringe nun beide Funktionen zum Schnitt.

\(-x^3+kx^2+kx-x=-x^3-x\)

\(kx^2+kx=0|:k\)  mit \(k≠0\) erhalte ich

\(x^2+x=0\) Satz vom Nullprodukt:

\(x(x+1)=0\)

\(x_1=0\) → \(f_k(0)=0\)

\(x_1=0\) →   \(p(0)=0\)

\(x_2=-1\)  →  \(f_k(-1)=1+k-k+1=2\)

\(P_1(0|0)\)  und \(P_2(-1|2)\)

Für \(k=0\) ergeben sich die beiden Punkte  \(P_1(0|0)\)  und \(P_2(-1|2)\)

....

Ich setze nun \(k=10\):

\(-x^3+10x^2+10x-x=-x^3-x\)

\(10x^2+10x=0|:10\)

\(x^2+x=0\)

\(x_1=0\)

\(x_2=-1\)  und erhalte damit wieder \(P_1(0|0)\)  und \(P_2(-1|2)\)

Jetzt nehme ich \(f_k=f_l\)

\(-x^3+kx^2+kx-x=-x^3+lx^2+lx-x\) mit \(k≠l\)

\(kx^2+kx=lx^2+lx\)

\(kx^2+kx-lx^2-lx=0\)  

\(k(x^2+x)-l(x^2+x)=0\) 

\((k-l)(x^2+x)=0\)

Da  \(k≠l\) ist, kann durch \((k-l)\) geteilt werden:

\(x^2+x=0\) und erhalte damit wieder \(P_1(0|0)\)  und \(P_2(-1|2)\) q.e.d.

Comments

Ist dir klar, dass du

Zeigen sie, dass sich alle Funktionsgraphen in genau 2 Punkten schneiden

damit NICHT beantwortet hast?

Du musst darauf nicht antworten - die Frage war rein rhetorisch.

Ich Wirklichkeit ist mir klar, dass es dir nicht klar ist. Du kannst also fortfahren, dich mit weiteren Antworten weiter zu blamieren.

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Ist der Ansatz $$f_{k\ne0}(x)=f_{k=0}(x)$$neuerdings verboten?

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Ist der Ansatz ... neuerdings verboten?

Damit zeigt man das sich die Kurven für k = 0 und k ≠ 0 an genau zwei Stellen schneiden. Das war aber nicht die Aufgabe.

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Ist der Ansatz $$f_{k\ne0}(x)=f_{k=0}(x)$$neuerdings verboten?

Lies nochmal ganz langsam die Fragestellung:

Zeigen sie, dass sich alle Funktionsgraphen in genau 2 Punkten schneiden

Da hat Moliets eklatante argumentative Lücken.

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Moliets hat durch den Sonderfall k=0 eine notwendige Bedingung für Schnittstellen hergeleitet, nämlich x=0 oder x=-1. Dann hat er "berechnet", dass für alle k (das hätte man betonen können) die Funktionswerte dort unabhängig von k übereinstimmen (hinreichende Bedingung). Mehr ist für a) nicht zu tun.

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Damit hast du immerhin fast alles nachgeliefert, was Moliets hätte selbst liefern müssen.

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Was meinst Du mit "fast"?

Inzwischen hat M durch seine Erweiterung gezeigt, dass er sich selbst und mir nicht traut.

Answer 3

a) Zeigen Sie, dass sich alle Funktionsgraphen in genau zwei Punkten schneiden.

fk(x) = -x^3 + k·x^2 + (k - 1)·x = -x^3 + k·x^2 + k·x - x = -x^3 + k·(x^2 + x) - x

Wir setze zwei nicht identische Kurven der Schar gleich: fa(x) = fb(x)
-x^3 + a·(x^2 + x) - x = -x^3 + b·(x^2 + x) - x
(a - b)·x·(x + 1) = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt gibt es für a ≠ b nur die Lösungen x = 0 und x = -1. Damit schneiden sich zwei Graphen der Schar nur an 2 Stellen. Die Punkte waren nicht gefragt. Kann man aber, wenn man möchte auch bestimmen.

b) Bestimmen Sie k so, dass der Graph von fk an der Stelle x = 3 einen Extrempunkt hat.

fk'(x) = -3·x^2 + 2·k·x + k - 1
fk'(3) = -3·3^2 + 2·k·3 + k - 1 = 0 → k = 4
fk''(x) = -6·x + 2·k
fk''(3) = -6·3 + 2·4 < 0 → HP

c) Für welchen Wert des Parameters k hat der Graph von fk keinen Extrempunkt?

fk'(x) = -3·x^2 + 2·k·x + k - 1 = 0
Keine Lösung für D = (2·k)^2 - 4·(-3)·(k - 1) < 0 → -3/2 - √21/2 < k < -3/2 + √21/2

d) Gibt es Parameter k, sodass der Graph von fk keinen Wendepunkt hat?

fk''(x) = -6·x + 2·k = 0 → x = k/3
Da dies immer eine Nullstelle mit VZW ist, gibt es auch immer einen Wendepunkt.