Äquivalenzrelation zeigen. R = {(a,b) € NxN| 3 | (2a + b)} Ansatz?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die auf ℕ definierte Relation
$$ R=\{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}|3|(2 a+b)\} $$
eine Äquivalenzrelation ist. Untersuchen Sie, ob diese Relation vollständig ist. Geben Sie fünf Zahlen an, die in der Äquivalenzklasse \( [2]_{R} \) liegen.

Wie beweise ich denn, dass diese Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist ?

Bzw. was bedeutet in diesem Fall Äquivalenzklasse 2 ?

Bedeutet das einfach das Zahlen gesucht sind, die bei der Teilung durch 3 = 2 ergeben ?

Comments

" Zahlen gesucht sind, die bei der Teilung durch 3 = 2 ergeben ? " 

Nein.

" 3 | (2a + b) " ist zu lesen als " 3 teilt 2a+b " d.h. "2a+b ist durch 3 teilbar."

Answer 1

> Wie beweise ich denn, dass diese Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist

1. Reflexivität: Sei n∈ℕ. Dann ist 2n + n = ... . Also ist 3 ein Teiler von 2n + n. Also ist (n,n)∈R
2. Symmetrie: Seien n,m∈ℕ und (n,m)∈R. Dann ist 3 ein Teiler von 2n+m. Dann ... . Also ist (m,n)∈R
3. Transitivität: Seien p,q,r∈ℕ mit (p,q)∈R und (q,r)∈R. Dann ist 3 ein Teiler von 2q+q und von 2q+r. Dann ... . Also ist (p,r)∈R

Fülle die Lücken aus.

> was bedeudet in diesem Fall Äquivalenzklasse 2

Gib fünf Zahlen an, die zu 2 äquivalent sind. Für eine solche Zahl z gilt 3|(2·2+z) und (wegen Symmetrie) 3|(2·z+2).

Comments

Ich vermute mal, deine Überschrift zu 3. ist ein Druckfehler.

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Hast du schon korrigiert.

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Äquivalenzklasse 2 bedeudet doch, dass ich ein b suche (2,b) damit der Term durch 3 teilbar ist ?

Kannst du mir bitte nochmal die Reflexivität und die Transitivtät an dem Beispiel nochhmal erklären ?

Answer 2

reflexiv:  für alle (a;a) ∈ IN x IN gilt   3 | 2a+a

weil 2a+a = 3a das Produkt aus 3 und einer nat. Zahl ist,

also durch 3 teilbar ist.

symm:  wenn  für  (a;b) ∈ IN x IN gilt   3 | 2a+bdann gilt für ( b;a)    3 | 2b + a denn

3*(b+a)  =   3b+3a ist sicherlich durch teilbar und

2a+b laut Voraussetzung, also ist deren Differenz 

  3b+3a  - ( 2a +b ) =  2b + a   auch durch 3

teilbar.

transitiv:  versuch es mal so ähnlich,:

Aufschreiben  was  (a;b) und (b;c) aus R bedeutet

und dann daraus folgern, dass auch (a;c) in R ist.

Gggf. nochmal nachfragen

Comments

Wie kommst du auf 3*(b+a) ?

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man brauch ja ein Argument, wieso aus


3 | 2a+b     dann     3 | 2b + a   folgt.

Da viel mit auf, dass beide zusammen gerade

3a + 3b ergeben und weil das  3(a+b) ist, sieht man,

dass es durch 3 teilbar ist.

Und dann ist es ja nicht allzu fern liegend, dass die

Differenz zweier durch 3 teilbarer Term wieder

durch 3 geht.

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Und bei der Transitivtät läuft das ähnlich ab ?

Kannst du mir da nochmal deinen Ansatz erklären ?

Muss ich bei der Reflexivität immer annehmen, dass b = a ist ?

Wenn ja, warum ?

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Und bei der Transitivtät läuft das ähnlich ab ?

Kannst du mir da nochmal deinen Ansatz erklären ?


Ja:  Du musst aus  (a;b) und (b;c) in R

      folgern, dass auch (a;c) in R ist.

Schreib doch mal auf, was diese drei Bedingungen

als Gleichung formuliert aussagen:   Die erste etwa

(a;b) ∈ R  bedeutet     3 teilt  2a+b    etc.

Muss ich bei der Reflexivität immer annehmen, dass b = a ist ?

genau, deshalb habe ich ja (a;a) und nicht (a,b) geschrieben. 

Wenn ja, warum ?   weil reflexiv heißt:

Jeder steht mit sich selbst in der Relation, also für

jedes a gilt  ( a;a)   ∈ R .

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Kannst du mir nochmal an dem Beispiel den Beweis der Transititvät beweisen ?

Dann verstehe ich es sicherlich!

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Schreib doch mal auf, was diese drei Bedingungen

als Gleichung formuliert aussagen:  

Die erste etwa
(a;b) ∈ R  bedeutet     3 teilt  2a+b   

Jetzt ergänze doch mal die 2. und die 3.

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Wenn (a,b) 3 teilt 2a und b und (b,c) also 3 teilt 2b und c dann teilt auch 3 2a und c.

Das ist ja die Aussage, die es zu beweisen gilt.

Wie gehe ich weiter vor ?

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Wenn 3 teilt 2a+b und  3 teilt 2b+ c

dann teilt 3 auch die Summe, also 2a+b  +   2b+c

                                   =   2a + 3b + c

Weil aber 3b sicherlich durch 3 teilbar ist, muss der Rest

                                  2a + c auch durch 3 teilbar sein


also  teilt 3  auch     2a + c.      q.e.d.

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Genial, Danke !

Und Äquivalenzklasse 2 bedeudet dann ja nur das ich Zahlen für b finden muss, damit  3 4 +b teilt ?!

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Genau, und die müsstest du etwas charakterisieren, etwa so:

3 teilt 4+b  

3 teilt b+1

Also sind in der Klasse alle diejenigen, für die gilt

b = 3n-1  mit n aus IN.

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Noch eine Frage zur Vollständigkeit.

Wir haben definiert, dass eine Relation vollständig ist,

wenn (a,b)kein  Element R --> (b,a) Element R

Wie beweise ich das dann bei diesem Ausdruck ?

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Diese Rel. ist nicht vollständig. z.B. sind

weder ( 2;7) noch (7;2) in R.

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Dann kann man ja sage: Wenn Die Relation symmetrisch ist dann ist sie nicht vollständig.

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Finde ich nicht:   ≤   bei den reellen Zahlen ist reflexiv und vollständig.

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Wie wäre dann die Begründung das die Aussage, dass wenn die Relation eine Äquivalenzrelation ist, nicht vollsändig sein kann, eine falsche Aussage ist ?