maximale monotonieintervalle

Question

Y=(-x^3+9x^2-8x) : (3x^2-9x)

Bestimmen Sie die maximalen Monotonie Intervalle und relativen Extremwerte!

Answer 1

f(x)  =  (- x³ + 9·x² - 8·x) / (3·x² - 9·x)  =

3·x² - 9·x = 0 ⇔ x * ( x - 3) = 0  ⇔  x = 0  oder x  = 3 

→ D_f = ℝ \ { 0 ; 3 } 

f '(x)  =  - (x² - 6·x + 19) / (3·(x - 3)²)

Die pq-Formel für   x² - 6·x + 19 = 0  ergibt, dass f ' keine Nullstellen hat . Das Vorzeichen von f ' ist also zwischen den Definitionslücken jeweils konstant und kann durch Einsetzen einer beliebigen Zahl aus dem jeweiligen Intervall  in f '(x) ermittelt werden:

x                   -∞           0              3            ∞

f '(x)                      -             -              -

Die Funktion f ist also in den folgenden Monotonieintervallen jeweils streng monoton fallend:

] -∞ ; 0 [  ;  ] 0 ; 3 [   und  ] 3; ∞ [

Gruß Wolfgang