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Prüfen Sie, ob die folgenden Teilmengen ℝ4-Unterräume von  ℝ4 sind.

(a) U1 := {(x1,x2,x3,x4) ∈ ℝ4| x1 = 0∨x3 = 0}

(b) U2 := {(x1,x2,x3,x4) ∈ℝ4 | 2x1+3x2+4x3+5x4 = 0∧x1+x2−x3−2x4 = 0}

(c) U3 := {(x1,x2,x3,x4) ∈ℝ4 | x1 ·x2 ·x3 = 0}

(d) U4 := {(x1,x2,x3,x4) ∈ℝ4 | 2x2 + 3x3 = 2x1 ∧x4 = 2x1 + 5x3}


Ich weiß, dass ich bei U1 ein Gegenbeispiel aufführen kann: (0 1 1 1) + (1 1 0 1)= (1 2 1 1)∉U1.

So auch bei U3: (1 1 0 1) + (1 0 1 1) = (2 1 1 0)∉U2, da x1 ·x2 ·x3 = 2≠0.

Leider machen mir die Aufgaben b) und d) Schwierigkeiten, da ich nicht weiß, wie ich mit dem ∧ die Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation nachweisen soll...

Hat jemand vielleicht einen Tipp, ;)

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führe die Vektoraddition und die S-Multiplikation doch einfach allgemein aus und überprüfe die Ergebnisse in  jeder der beiden Bedingungen einzeln wie bei einer Bedingung.

Gruß Wolfgang

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Also könnte man in b) wie folgt vorgehen?


Sei U2∈ℝ4 , somit ist ist U2⊆ℝ4 .  Da (0 0 0 0)∈U2⇒ U2≠∅ .

Für die Skalarmultiplikation gilt:

λ·(2x1+3x2+4x3+5x4) = λ·0 = 0  ∧  λ·(x1+x2−x3−2x4) = λ·0 = 0 ∈U2.

Für die Vektoraddition gilt dann:

2(x1+y1)+3(x2+y2)+4(x3+y3)+5(x4+y4) = 0+0 = 0  ∧  (x1+y1)+(x2+y2)+(-1)(x3+y3)+(-1)(x4+y4) = 0+0 = 0 ∈U2

Somit ist U2 ein Unterraum von ℝ4.

zweimal  ... = 0  statt  ... = 0 ∈U2   ist richtig    (0∉U2 !)

Ok das habe ich verstanden, doch wie sieht es bei der d) aus?...

U4⊆ℝ4 und  U4≠∅.

Für die Skalarmultiplikation:

2(x2+y2)+ 3(x3+y3) = 2(x1+y1) ∧ (x4+y4) = 2(x1+y1) + 5(x3+y3)

Für die Vektoraddition:

λ(2x2 + 3x3) = λ(2x1)  ∧  λx4 = λ(2x1 + 5x3)

Somit ist U4 ein Unterraum von ℝ4.

Oder habe ich dabei etwas nicht bedacht?

Außer dass du S-Multiplikation und Vektoraddition vertauscht hast, ist es in Ordnung.

Man sollte aber noch begründen, wieso die angegebenen Bedingungen wahr sind.

wieso sind die bedingungen bei u2 und u4 wahr?

2(x2+y2)+ 3(x3+y3) = 2(x1+y1) ∧ (x4+y4) = 2(x1+y1) + 5(x3+y3)

2x2+3x+  2y2+3y3  = 2x1 + 2y1  ∧ ....

gleichfarbige Teilterme sind links und rechts nach Voraussetzung gleich, wenn  x und y in U4 liegen. Alles andere geht analog.

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