Betrag einer komplexen Zahl. Beweisen, dass |z1| * |z2| = | z1 * z2|?

Question

Für \( z=a+b i \in \mathbb{C} \) definiert man den Betrag \( |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} . \) Man zeige, dass die Beziehung \( \left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| \) für alle \( z_{1}, z_{2} \in \mathrm{C} \) gilt! 

Ich habe die Aufgabe mit einem Beispiel gerechnet, aber irgendwie komme ich nicht darauf.

Answer 1

Seien $$z_1=a_1+b_1i \text{ und } z_2=a_2+b_2i$$ Wir haben dass $$z_1\cdot z_2=(a_1+b_1i)\cdot (a_2+b_2i)=a_1a_2+a_1b_2i+a_2b_1i+b_1b_2i^2 \\ =a_1a_2+(a_1b_2+a_2b_1)i-b_1b_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$$ 
Also $$|z_1\cdot z_2|=\sqrt{(a_1a_2-b_1b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2}=\sqrt{a_1^2a_2^2-2a_1a_2b_1b_2+b_1^2b_2^2+a_1^2b_2^2+2a_1b_2a_2b_1+a_2^2b_1^2}=\sqrt{a_1^2a_2^2+b_1^2b_2^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2}=\sqrt{a_1^2 \left(a_2^2+b_2^2\right)+b_1^2\left( b_2^2+a_2^2\right)}=\sqrt{\left(a_1^2+b_1^2\right)\left( a_2^2+b_2^2\right)}=\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{ a_2^2+b_2^2}=|z_1|\cdot |z_2| $$

Answer 2

Rechne das allgemein mit z1 = a + ib und z2 = c + id

z1 * z2 = (a+ib)(c + id) = ac  - bd + i(ad + bc)

| z1 * z2 | = √ ( (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2)

vergleiche den Inhalt der Wurzel mit

| z1| * |z2| = √( a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2)

= √(( a^2 + b^2) * (c^2 + d^2))

Wenn du beide Terme unter der Wurzel schön ausmultiplizierst und ich mich nicht verrechnet habe, steht dann unter beiden Wurzeln dasselbe.

Comments

Stimmt, weil sich die gemischten Terme, also Terme der Form \( 2abcd \), in \( (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 \) gegenseitig aufheben.