Funktionsgleichung einer ganz rationalen Funktion anhand von HP(0/-2) und TP (2/-6)

Question

Ich habe schon folgendes:

f(x)= ax^3+bx^2+cx+d

f(x)= 3ax^2+2bx+c

f`(x)=6ax+2b

nun habe ich in f(x) den HP einzusetzen:

f(0)=3a*0^2+2b*0+c=-2 --> c=-2

Anschließend auch den TP in f(x)

f(2)= 3a*2^2+2b*2+c=-6

          12a+4b+c=-6

das ganze habe ich dann in unseren GTR eingegeben und heraus kam das:

für a: -c1/3 - 1/3

für b: c1

für c: -2 (das einzige was ich nachvollziehen kann)

aber es fehlt ja auch noch d. Wo ist mein Fehler?

Answer 1

nun habe ich in f(x) den HP einzusetzen:

f(0)=3a*0²+2b*0+c=-2 --> c=-2

Das ist falsch. Beim HP ist  f ' (x) = 0  also hast du

f ' (0) = 0   das gibt   c=0 außerdem  f ( 0 ) = - 2  das gibt  d = -2 .

Entsprechend beim Tiefpunkt 

f ' ( 2) = 0    und  f( 2) =  -6

Damit bekommst du a und b.

Answer 2

Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion mit HP(0|-2) und TP(2|-6). Grad 3

Ich verschiebe die Punkte um 2 Einheiten nach oben:      HP´(0|0)  TP´(2|-4) 

Linearfaktorenform
\(f(x)=ax^2(x-N)=a(x^3-Nx^2 )\)
TP´(2|...)
\(f'(x)=a(3x^2-2Nx )\)
\(f'(2)=a(12-4N )\)
\(N=3\)
\(f(x)=ax^2(x-3)\)
TP´(2|-4)
\(f(2)=4a(2-3)=-4a=-4\)  
\(a=1\)
\(f(x)=x^2(x-3)\)

... und 2 Einheiten nach unten

\(p(x)=x^2(x-3)-2\)