Funktionsgleichung einer Parabel aufstellen, aber einer der 3 Punkte ist der Scheitelpunkt

Question

Beispiel:

Die Punkte P (1/2) S (2/3) und Q (3/2) sind gegeben.

Lässt sich die Funktionsgleichung durch das Einsetzen der Punkte und Additions/Einsetzungsverfahren ermitteln?

Oder stellt der Scheitelpunkt eine Ausnahme dar?

Wenn bekannt ist, dass S der Scheitelpunkt ist, kann man ja mit der Scheitelpunktform einfach die Funktionsgleichung bestimmen. Was aber, wenn das nicht bekannt ist?

Answer 1

Wenn du drei Punkte hast kannst du die einsetzen und dann über das Additionsverfahren lösen. In diesem Fall würde das über den Scheitelpunkt nur wesentlich schneller gehen.

f(x) = ax^2 + bx + c

f(1) = 2
a + b + c = 2

f(2) = 3
4·a + 2·b + c = 3

f(3)=2
9·a + 3·b + c = 2

Die Lösung des LGS wäre hier a = -1 ∧ b = 4 ∧ c = -1

f(x) = -x^2 + 4x - 1

Einfacher über den Scheitelpunkt

a = Py - Sy / (Px - Sx)^2 = 2 - 3 / (3 - 2)^2 = -1

f(x) = -1 * (x - 2)^2 + 3

Comments

okay, der Scheitelpunkt nimmt also bei diesem Verfahren keine Sonderrolle ein, schönen Dank :)

Answer 2

P (1/2) S (2/3) und Q (3/2)

Annahme: Du  suchst die Gleichung einer Parabel.

In diesem Fall hast du zu viele Angaben. Schon mit einem Teil der Angaben kannst du die Gleichung bestimmen.

Scheitelpunktform benutzen

y = a(x-2)^2 + 3

P einsetzen

2 = a(-1)^2 + 3

-1 = a

y = -(x-2)^2 + 3 ist die gesuchte Parabelgleichung.

Du darfst noch ausmultiplizieren

y = - (x^2 - 4x + 4) + 3

y = -x^2 + 4x -1

Kontrolle mit Punkt Q.

2=?=  -(1)^2 + 3 stimmt.

Zufälligerweise liegt also Q auch auf der Parabel.

Es ist bestimmt schneller die Scheitelpunktform zu benutzen

als den allgemeinen Ansatz y = ax^2 + bx + c.

Answer 3

Parabel gesucht: P \((1|\red{2})\), S \((2|3)\) und Q \((3|\red{2})\) sind gegeben

Da P und Q den gleichen y-Wert besitzen, verschiebe ich diese beiden Punkte um \(\red{2}\) Einheiten nach unten und mache weiter mit der Nullstellenform der Parabel:

\(f(x)=a(x-1)(x-3)\)

S\((2|3)\)  ↓  S´\((2|1)\):

\(f(2)=a\cdot(2-1)(2-3)=a\cdot(-1)\)

\(a\cdot(-1)=1\)

\(a=-1\):

\(f(x)=-(x-1)(x-3)\)↑

\(p(x)=-(x-1)(x-3)+\red{2}\)

S ist jetzt zufällig der Scheitelpunkt. Bei diesem Lösungsverfahren sind damit auch andere Koordinaten möglich.