Steckbriefaufgabe: Achsensymmetrische Funktion 4. Grades mit einer waagerechten Tangente bei P(√3,-4)

Question

Der zur y- Achse symmetrisch liegende Graph einer Polynomfunktion 4.Grades hat im Punkt P (√3/-4) eine waagrechte Tangente und schneidet die x- Achse im Punkt  N (-1 /0).

Bestimme die Funktionsgleichung

Ich habe meine Gleichungen aufgestellt ...ich möchte wissen ob sie stimmen dann kann ich weiterrechnen

zuerst mal Polynom 4.grades =

f(x)= ax⁴+bx3+cx2+d=0

Ich benötige $ Gleichungen aufgrund von Polynom 4 Grades oder???

f(√3)= -4

f(√3)=0

f(-1)=0

f´(-1)=0

 

freue mich auf Antworten

Answer 1

Beim Polynom 4. Grades hast Du das x vergessen, richtig muss es heißen: 

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Außerdem brauchst Du, um ein Polynom n-ten Grades aufzustellen, immer n+1 Gleichungen, also um ein Polynom 4. Grades zu bestimmen, 5 Gleichungen.

Diese 5 Gleichungen lauten: 

f(√3) = -4

Weil symmetrisch zur y-Achse: 

f(-√3) = -4

Weil die x-Achse im Punkt N (-1|0) geschnitten wird:

f(-1) = 0

Und wegen der Symmetrie: 

f(1) = 0

Und schließlich wegen der waagrechten Tangente im Punkt P: 

f'(√3) = 0

Ich hoffe, das hilft Dir bei Deinen weiteren Berechnungen. 

Besten Gruß

Comments

Am schönsten ist es wenn mein ein Polynom 4. Grades hat welches symmetrisch zur y-Achse ist das man dann als Polynom

f(x) = ax⁴ + bx² + c

nimmt. Es gilt ja bei einer achsensymmetrischen Funktion das alle Potenzen von x gerade sein müssen. Nun hat man 3 Koeffizienten und braucht somit auch nur 3 Bedingungen.

f(√3) = -4

f '(√3) = 0

f(-1) = 0

Das sollte dann schon auslangen. 

Als Lösung solltest Du bekommen: a = 1 ∧ b = -6 ∧ c = 5

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Bei Symmetrie zur y-Achse würde ich eher auf f(x)=ax^4+bx^2+c gehen ;).


Zudem meinst Du wohl -√3 und nicht etwa √-3


Grüße

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könnte  ich auch f strich ( -1) = O setzen ??? oder ist es nicht notwendig ??

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war um hat den derHerr Kollege 5 Bedingungen aufgestellt und eine Potenz ist nicht gerade oder geht dieser weg genauso gut wie der andere??

ich denke der andere ohne fünf Koeffizenten ist schneller ??

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@Unknown:
Stimmt mal wieder, danke!

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@Der_Mathecoach:
So geht es natürlich schneller - danke!

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@Anonym: 

f'(-1) = 0 ist nicht gegeben, denn an x = -1 schneidet der Graph die x-Achse, hat also nicht die Steigung

0.

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ich weiß war wie ich es rechnen soll. ich komme aber leider nicht auf die Ergebnisse


meiner erste Gleichung besteht aus

256a+16b+c= wurzel3

dann a+b = 0

bei der anderen fällt doch alles weg oder

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@Anonym:

Die Berechnungen vom Mathecoach stimmen natürlich: 

f(x) = ax⁴ + bx² + c

f'(x) = 4ax³ + 2bx

Aus

f(√3) = -4

f'(√3) = 0

und

f(-1) = 0

erhält man die drei Gleichungen: 

f(√3) = 9a + 3b + c = -4

f'(√3) = 4a * (√3)³ + 2b * √3 = 0, also 4a * (√3)³ = -2b * √3

f(-1) = a + b + c = 0

und daraus:

a = 1

b = -6

c = 5

f(x) = x⁴ - 6x² +5

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okay danke nun habe ich

9a+3b+c= -4 minus a+b+c=0 gerechnet

Ergebnis 4a+b=-2

ich tu mir sehr schwer

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I. 9a + 3b + c = -4

II. a + b + c = 0

III. 4a * (√3)³ + 2b * √3 = 0, also 4a * (√3)³ = -2b * √3

Wir multiplizieren beide Seiten der 3. Gleichung mit √3 und erhalten: 

4a * (√3)⁴ = -2b * 3

36a = -6b

-6a = b

Soweit klar?

Jetzt subtrahieren wir die 2. Gleichung von der 1. Gleichung:

8a + 2b = -4

und setzen für b ein -6a:

8a - 12a = -4

-4a = -4

a = 1

Das eingesetzt in -6a = b ergibt

-6 = b

Diese beiden Werte eingesetzt in a + b + c = 0 ergibt

1 - 6 + c = 0

c = -1 + 6

c = 5

Bitte immer auf die Vorzeichen achten! Ich vertue mich da auch sehr gern :-)

Answer 2

Der zur y- Achse symmetrisch liegende Graph einer Polynomfunktion 4.Grades hat im Punkt $P ( \sqrt{3} |-4)$ eine waagrechte Tangente und schneidet die x- Achse im Punkt $N (-1 |0)$ .

In $P ( \sqrt{3} |-4)$ waagerechte Tangente , dann auch in   $Q (-\sqrt{3} |-4)$

Um 4 Einheiten nach oben:  In $P ´( \sqrt{3} |0)$    $Q´ (-\sqrt{3} |0)$        $N (-1 |0)$       $N (-1 |4)$

$f(x)=a*(x- \sqrt{3})^2*(x+ \sqrt{3})^2=a*(x^2-3)^2$

$f(x)=a*(x^2-3)^2$

$N (-1 |4)$    $f(-1)=a*(1-3)^2=4a$ →$a=1$

$f(x)=(x^2-3)^2$

$p(x)=(x^2-3)^2-4$