Lösung der DGL dx/dt = -(b+c)x allgemein und für x0=1

Question

wenn ich die DLG lösen möchte, kann ich dann die Gleichung

$$\frac { dx }{ dt } =-(b+c)x$$ durch Substitution von $$a=(b+c)$$ zu

$$\frac {dx}{dt} = -ax$$ zurückführen bzw. wäre dann die Lösung analog dazu?

Allgemeine Lösung:

$$\frac { dx }{ x } =-ax$$ $$\int _{ x(0) }^{ x(t) }{ \frac { dx' }{ x' } } dx'\quad =\quad \int _{ 0 }^{ t }{ -adt' }$$

$$\ln { x(t) } -\ln { x(0) } =-at$$

$$\ln { (\frac { x(t) }{ x(0) } } )=-at$$

$$\ \frac { x(t) }{ x(0) } ={ e }^{ -at }$$

$$x(t)\quad =\quad x(0){ e }^{ -at }$$

Substitution zurück:

$$x(t)\quad =\quad x(0){ e }^{ -(b+c)t }$$

Spezielle Lösung ür x0=1

$$x(t)\quad =\quad 1*{ e }^{ -(b+c)t }$$

Ist das so richtig oder fehlt hier noch was .. hab ich irgenwo einen Fehler?

Vielen Dank vorab für eure Hilfe :)

Answer 1

dein Vorgehen ist richtig. Die Substitution a=(b+c) ist nicht unbedingt notwendig.

In der einen Zeilen muss es heißen:

$$\frac { dx }{ x}=-adt\\\int_{x(0)}^{x(t)}\frac { dx' }{ x' }=\int_{0}^{t}-adt'$$

Comments

Danke für die Korrektur :)
Ich gehe dann davon aus, dass die spezielle Lösung auch richtig ist.

---

Ja die spezielle Lösung ist auch richtig :)