Lösung der DGL dx/dt = -(b+c)x allgemein und für x0=1

Question

wenn ich die DLG lösen möchte, kann ich dann die Gleichung

$$  \frac { dx }{ dt } =-(b+c)x $$ durch Substitution von $$ a=(b+c) $$ zu

$$ \frac  {dx}{dt} = -ax $$ zurückführen bzw. wäre dann die Lösung analog dazu?

Allgemeine Lösung:

$$ \frac { dx }{ x } =-ax $$ $$ \int _{ x(0) }^{ x(t) }{ \frac { dx' }{ x' }  } dx'\quad =\quad \int _{ 0 }^{ t }{ -adt' }  $$

$$ \ln { x(t) } -\ln { x(0) } =-at $$

$$ \ln { (\frac { x(t) }{ x(0) }  } )=-at $$

$$ \ \frac { x(t) }{ x(0) }  ={ e }^{ -at } $$

$$ x(t)\quad =\quad x(0){ e }^{ -at } $$

Substitution zurück:

$$ x(t)\quad =\quad x(0){ e }^{ -(b+c)t } $$

Spezielle Lösung ür x0=1

$$ x(t)\quad =\quad 1*{ e }^{ -(b+c)t } $$

Ist das so richtig oder fehlt hier noch was .. hab ich irgenwo einen Fehler?

Vielen Dank vorab für eure Hilfe :)

Answer 1

dein Vorgehen ist richtig. Die Substitution a=(b+c) ist nicht unbedingt notwendig.

In der einen Zeilen muss es heißen:

$$ \frac { dx }{ x}=-adt\\\int_{x(0)}^{x(t)}\frac { dx' }{ x' }=\int_{0}^{t}-adt' $$

Comments

Danke für die Korrektur :)
Ich gehe dann davon aus, dass die spezielle Lösung auch richtig ist.

---

Ja die spezielle Lösung ist auch richtig :)