Allgemeine lineare Gruppe von V

Question

Beweise:

Die Menge

GL(V)={f I f: V->V K linear und bijektiv}

ist mit der Hintereinanderausführung eine Gruppe mit Einselement Idv und heißt die allgemeine lineare Gruppe von V.

Wie muss man das beweisen ?

Answer 1

Du musst nur die Gruppenaxiome prüfen:

Abgeschlossen: klar bei Hintereinanderausführung bleibt K linear und bijektiv

erhalten.

Assoziativ ist Hintereinanderausführung auch.

neutral ist die Identität  id : V ---> V  mit  id(x) = x

und invers zu f ist die Umkehrabb. f ^-1  und wenn f K linear und bijektiv

ist, ist die das auch.