matrizenmultiplikation von drehmatizen

Question

 Komme bei der aufgabe hier gar nicht weiter. Ich bitte um hilfe

Answer 1

Sei M die Matrix, die da steht und N diejenige ,  die entsteht wenn man φ durch ψ ersetzt.

Berechne dann M*N  und vergleiche mit N * M und du siehst:

gleiche Ergebnisse, also kommutativ.

Comments

Danke erstmal für ihre hilfe.

Verstehe nicht was ich mit was ersetzen soll

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M =

cos(φ)    -sin(φ)
sin(φ)      cos(φ)Das ist die erste Matrix und 

N =

cos(ψ)    -sin(ψ)
sin(ψ)      cos(ψ)ist die zweite.  Dann ist   M * N =

cos(φ)*cos(ψ)-sin(φ)*sin(ψ)      -cos(φ)*sin(ψ)-sin(φ)cos(ψ)
cos(φ)*sin(ψ)+sin(φ)cos(ψ)        cos(φ)*cos(ψ)-sin(φ)*sin(ψ)



Und wenn du in der anderen Reihenfolge multiplizierst  N * M =

cos(φ)*cos(ψ)-sin(φ)*sin(ψ)      -cos(φ)*sin(ψ)-sin(φ)cos(ψ)
cos(φ)*sin(ψ)+sin(φ)cos(ψ)        cos(φ)*cos(ψ)-sin(φ)*sin(ψ)weil also  immer  M*N = N*M gilt, ist die Multiplikation

dieser Matrizen kommutativ.


Bei anderen ( die keine Drehmatrizen sind ) ist es nicht

immer so.

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Und wenn du die Additionstheorem von cos und sin kennst, dann

siehst du  , das ist gerade

cos ( φ+ψ)            - sin ( φ+ψ)
sin ( φ+ψ)               cos ( φ+ψ)

Also ist das Produkt die Drehmatrix zum Winkel cos φ+ψ.

Das macht auch Sinn, wenn man zwei Drehungen um (0;0) hintereinader
ausführt, gibt das ( egal in welcher Reihenfolge) eine Drehung um
die Summe der Drehwinkel.